Das ist Schwachsinn. Wenn ihr die türk. Staatsangehörigkeit annimmt, dann verliert ihr die dt. Staatsangehörigkeit. Deine Mutter muss einen Antrag bei der Ausländerbehörde zur Einbürgerung stellen. Nach sämtlicher Prüfung erhält der Antragsteller eine sog. Einbürgerungszusicherung. Mit dieser muss sie zum türk. Konsulat (mit Termin!) und stellt einen Antrag zur Ausbürgerung. Die Überprüfung wird in der Türkei vorgenommen und kann bis zu 3 Monaten dauern. Danach erhält sie eine Ausbürgerungszusicherung, die bei der Ausländerbehörde abgegeben wird. Die Behörde bearbeitet den Antrag weiter und lädt deine Mutter zur Überreichung der Einbürgerungsurkunde ein. Tada, sie hat die dt. Staatsangehörigkeit. Binnen einem Monat muss dann deine Mutter zum türk. Konsulat und die stellen eine Ausbürgerungsurkunde aus (die Einbürgerungsurkunde muss vorgezeigt werden). Die Ausbürgerungsurkunde wird dann bei der Ausländerbehörde vorgezeigt und dann wird deine Mutter im staatlichem Register nur noch als dt. Staatsbürgerin aufgeführt.

Das ist die Prozedur, um die dt. Staatsbürgerschaft anzunehmen und dabei die türkische Staatsangehörigkeit aufzugeben. Den türk. Pass zu zerstören bringt nichts, da in DE die Passpflicht besteht. Euer erster Ansprechpartner ist die Ausländerbehörde. Meine Einbürgerung lief in der Kurzfassung so ab, daher spreche ich aus Erfahrung. 

Viel Glück!