Rechnungen haben Pflichtangaben. 

http://www.frankfurt-main.ihk.de/recht/steuerrecht/umsatzsteuer_national/rechnungsstellung_pflichtangaben/

Egal unter welcher Konstellation: Das leistende Unternehmen muss mit vollständiger Anschrift oder Name angegeben sein. Bist Du das leistende Unternehmen, dann ist es eine Ausgangsrechnung. Bist Du es nicht, dann ist es eine Eingangsrechnung. 

Kein Mensch stellt eine Rechnung mit fremdem Logo und schickt die raus. Wenn die Schule auf die Idee kommt, solche blödsinnigen Konstellationen zu bauen, dann bleibt es aber dabei: Name und Anschrift des leistenden Unternehmens. Ob die da irgendein anderes Logo drauf drucken oder die Praktikantin auf den Kopierer setzen und auf der Hinternkopie ihre Rechnungen schreiben ist vollkommen egal. 

Vom Workflow eigentlich irrelevant. 

Ich bestätige einen 0er Saldo. Ansonsten schicke ich als Anhang das Debitoren bzw. Kreditorenkonto mit. Warum? Weil ich damit weniger Arbeit habe und sich genau diese Frage erübrigt. Und wenn es eine Abweichung gibt, die Gegenseite die Ursache der Abweichung auch sofort erkennt. 

Ist einfach am wenigsten Arbeit und rechtssicher.

Du stellst dem Kunden eine normale Rechnung mit deutscher MwSt. aus. Entscheidend ist die Lieferadresse. 

Parallel füllst Du Teil A des Ausfuhrscheins aus (Findest Du beim Zoll online - Ausfuhrschein "Ausfuhr- und Abnehmerbescheinigung für Umsatzsteuerzwecke bei Ausfuhren im nichtkommerziellen Reiseverkehr"). Den lässt sich Dein Kunde dann abstempeln vom Zoll (Export und Import) und sobald Du den zurück bekommst, erstattest Du ihm die gezahlte MwSt.

Ist es präferenzbegünstigte EU Ursprungsware, schreibst Du da einen passenden Satz auf die Rechnung und unterschreibst das. Dann spart der Kunde Zollgebühren. 

Wenn Du Fragen dazu hast, ruf den deutschen Zoll an. IHK hat da auch Leute, die beraten. Die sind da super hilfsbereit und haben Ahnung davon. Du siehst schon, wie die Antworten hier auseinander gehen. 

Aufpassen musst Du, dass der Kunde Dich nicht in die Konstellation bringt, ihm ne Nettorechnung auszustellen, ohne den Nachweis eines Exports zu haben. Da bleibst Du nämlich drauf sitzen. Ansonsten noch der Hinweis, dass ich den Fall so noch nie hatte. Ist also nicht so häufig wie man denkt. Pass mal auf, dass Du keine Ware an irgendeine Adresse auf Rechnung schickst, und die Ware dann plötzlich weg ist und der Kunde nicht mehr auffindbar ist. Also über Vorauskasse inkl. MwSt. nachdenken.

Denk mal darüber nach, ob Du Deinen als Einlage gebrachten PC nicht zu 100% geschäftlich nutzt. Die meisten denken darüber nach und kommen zu dem Schluss.