Ich versuche es mal für die katholische Kirche zu beantworten. Wie es in den anderen Konfessionen ist, soll ein anderer beantworten:
Die Voraussetzung, um Bischof zu werden ist, dass du mindestens 35 Jahre alt bist, männlich, unverheiratet und die Diakonen- und Priesterweihe empfangen hast. In der Regel kann man sich nicht als Bischof bewerben, sondern wird vorgeschlagen. Meist sind diese Kandidaten nicht nur einfach Pfarrer, sondern haben meistens schon den einen oder anderen besonderen Posten inne. Viele haben weiter studiert und promoviert und sind Doktoren oder gar Professoren. Wenn Du also 35 oder älter bist, in Theologie ein Diplom und einen Doktor hast und dir einen guten Namen durch gute Arbeit gemacht hast, hast Du gute Chancen.
Der Papst ernennt den Bischof. Wie er dazu kommt, da gibt es verschiedene Wege. In Rom gibt es eine eigene Abteilung für die Bischöfe, die die Auswahl prüft und vorbereitet. Zusätzlich gibt es verschiedene Konkordate (Veträge, die Staaten mit der Kirche geschlossen haben), die die Bischofsernennung regeln. In Deutschland ist das nicht einheitlich, weil die Verträge mit den Vorgängerstaaten Deutschlands geschlossen wurden. In großen Teilen Deutschlands gilt das preussische Konkordat, es gibt aber auch ein Württemberger Konkordat und auch die Bayern haben ein eigenes. Nach dem preussischen Konkordat geht es so:
Wenn ein Bischof gestorben ist, trifft sich das Domkapitel (das ist der engste Beraterkreis des Bischofs, vielleicht so etwas wie das Kabinett in der Regierung) und bestimmt 3 Kandidaten, die sie für geeignet halten. Diese 3 Namen werden nach Rom geschickt. In Rom wird geprüft, ob die Kandidaten wirklich geeignet sind (Nihil obstat). Rom schickt daraufhin wieder 3 Namen an das Domkapitel zurück. Diese 3 Namen können identisch mit den 3 Vorschlägen sein, es können aber auch vollkommen andere sein. Aus diesen 3 Kandidaten darf das Domkapitel nun einen wählen. Dieser wird dann vom Papst ernannt. Bevor jedoch der Name öffenltich bekannt gegeben wird, wird auch noch einmal die lokale Regierung (meist die Regierung des Bundeslandes) gehört. Dann wird die Ernennung öffentlich zeitgleich in Rom und in dem jeweiligen Bistum bekannt gegeben und einige Wochen später erfolgt (falls noch nötig) die Bischofsweihe.
Da ein Bischof immer auch Priester ist, hat er bereits bei der Diakon- und Priesterweihe die Ehelosigkeit gelobt.