Wahrscheinlich ist der Akku kaputt. Hatte ich auch. Handys überhitzen dann und/oder stürzen ab. Verkürzte Akkulaufzeiten können auch ein Hinweis sein. Der Akku kann dann auch anschwellen, was nach gewisser Zeit das Display krümmt, bis es schließlich zerspringt. (Auch das ist mir schon mehrmals passiert...) Um herauszufinden, ob ein angeschwollener Akku für den Sprung verantwortlich ist, würde ich seitlich auf das Handy draufschauen, um zu gucken, ob das Display gekrümmt ist. Dafür die Hülle natürlich abnehmen, dann sieht man das besser.
Generell ist es natürlich nie die beste Idee, das Handy in der Sonne liegen zu lassen. Gerade, wenn das Display oben ist, erhitzt es sich dann sehr schnell, was Schäden hervorrufen oder schlimmer machen kann.
Bezüglich der Reparatur kann ich leider keine Tipps geben, ich habe meins damals selbst auseinander gebaut. Aber vermutlich ist es mit einem Displaywechsel nicht getan. Was ein neuer Akku, Kosten für den Reparateur mal ausgenommen, kostet, kann man aber sicher auf Amazon nachschlagen, falls du das Model kennst.