X(t)= X1* cos(t) + X2 *sin(t)?
Wie kann man sich erklären, dass dir Amplitude= √(x1²+x2²) ist?
2 Antworten
Wir setzen:
x_1 * cos(t) + x_2 * sin(t) = A * cos(t + α)
Additionstheorem Kosinus:
x_1 * cos(t) + x_2 * sin(t) = A * cos(t) * cos(α) - A * sin(t) * sin(α)
Koeffizientenvergleich:
x_1 = A * cos(α) ⇔ x_1 / A = cos(α)
x_2 = -A * sin(α) ⇔ -x_2 / A = sin(α)
trig. Pythagoras:
-x_2 / A = sin(α) = √(1 - cos²(α))
quadrieren:
x_2² / A² = 1 - cos²(α)
cos²(α) = 1 - (x_2² / A²)
cos(α) ersetzen:
x_1² / A² = 1 - (x_2² / A²)
umformen:
A² = x_1² + x_2²
A = √(x_1² + x_2²)
Die Überlagerung zweier um 90° phasenverschobener Signale mit den Amplituden X1 und X2 kann durch ein einziges Signal mit der zunächst unbekannten Amplitude A und der Phasenverschiebung phi ausgedrückt werden.
Nun kann mit Hilfe eines Additionstheorems für die Differenz eines Argumentes folgende Zerlegung aufgestellt werden.
Dabei gewinnt man zwei Gleichungen zur Bestimmung der Phasenverschiebung phi und der Gesamtamplitude A
