Von sin (x) = -0,5 zu x1 und x2 kommen?
Hallo,
ich bin momentan in der EF und übe für die kommende Mathe-Klausur, doch kann mir nicht erschließen wie die Lösungen von sin(x) = -0,5 auf x1 und x2 ( also so wie bei der pq Formel beispielsweise) kommen.... Kann mir das jemand erklären ? Dazu ist x1 und x2 übrigens x1 = 7pi / 6 und x2 = 11pi / 6
4 Antworten
Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus sind Elemente der T-Periodischen Funktionen. Dies bedeutet, dass gilt:
f(x) = f(x + T) mit f T-periodisch.
Der Sinus und der Kosinus besitzten an sich die Periode T = 2pi. Diesen Umstand kann man sich am Einheitskreis verdeutlichen. Es gilt also:
sin(x) = sin(x + 2pi)
Daraus folgern wir dann sofort, dass gelten muss:
sin(x) = sin(x + k*2pi) mit k aus { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} = Z (ganze Zahlen)
Wir wollen uns nun mit der Lösung folgender Gleichung beschäftigen:
sin(x) = y mit y aus [-1, 1] c IR
Um die Lösbarkeit dieses Problems zu verstehen beschäftigen wir uns zunächst mit der Umkehrbarkeit von Funktionen. Betrachte dazu zunächst folgendes Beispiel:
f(x) = x²
Angenommen wir haben die Gleichung: x² = 1 gegeben und wollen diese nun nach x auflösen, so haben wir hier ein Problem. Man macht sich schnell klar, dass gilt:
(-1)² = 1² = 1
wir erhalten also -1 und 1 als Lösungen für x. Dies bedeutet, dass wir keine Funktion g(x) finden können die folgende Eigenschaft besitzt:
g(f(x)) = x
da hier unser f keine eindeutige Lösung besitzt !!! Betrachtet man jedoch f(x) = x² bspw. nur für positive Werte von x, so ist es möglich die Umkehrfunktion g zu f zu finden. Diese Funktion ist bekannt als "Quadratwurzel". Sie liefert die Lösung zu der Gleichung:
x² = y für x aus [0, +inf)
Schließlich können wir aus Symmetriegründen die zweite Lösung durch die erste Ausdrücken:
x² = y ---> (x²)^(1/2) = y^(1/2)
--> |x| = y^(1/2) --> x = y^(1/2) oder x = - y^(1/2)
(Wobei | . | den Absolutbetrag bezeichnet)
Wann ist nun eine Funktion umkehrbar? Stellt sich heraus, dass Monotonie die Antwort liefert. Ist eine Funktion f Monoton, so folgt:
Jedem X aus dem Definitionsbereich wird GENAU EIN y = f(x) aus dem Wertebereich zugeordet. Es folgt mit strenger Monotonie also Eindeutigkeit.
Es gilt bspw für f(x) = x²:
a² < b² für b > a und b,a aus (0, +inf) c IR
Die Funktion f ist also streng monoton steigend auf (0, +inf) und damit Umkehrbar (gegeben durch die Quadratwurzel).
Betrachtet man nun den Graphen der Sinus-Funktion, f(x) = sin(x):
https://www.google.de/search?q=sin(x)&ie=utf-8&oe=utf-8&gws_rd=cr&ei=1xm_WNrjMYO0a73nhJgK
So lässt sich am Graphen ablesen:
Die Funktion des Sinus ist streng monoton auf (-pi/2 , pi/2 ) und auf (pi/2, 3pi/2). Es lässt sich also eine Umkehrfunktion auf diesen angegeben Intervallen finden. Gegeben ist diese durch:
g(x) = arcsin(x) g: [-1, 1] --> [-pi/2, pi/2]
Diese Funktion liefert uns jedoch nur eine Lösung auf [-pi/2, pi/2]. Analog jedoch zu dem Falle der Quadratwurzel können wir die Symmetrie des Problems ausnutzen. Man erkennt recht leicht, dass gilt:
sin(x) = sin(pi - x)
Somit können wir die Lösung der Gleichung:
f(x) = sin(x) = y
angeben als:
x = arcsin(y) oder x = pi - arcsin(y)
Dies wären die beiden Lösungen auf dem Intervall [0, 2pi]. Insgesamt existieren unendlich viele Lösungen zu der angegeben Gleichung aufgrund der Periodizität der Funktion. Somit lassen sich ALLE Lösungen auf ganz IR in der Form:
x = arcsin(y) + k*2pi oder x = pi - arcsin(y) + k*2pi
mit k aus { ..., -1, 0, 1, ...} = Z (ganze Zahlen)
angeben.
Siehe bspw die Lösung zu: sin(x) = 0.8
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(x)+%3D+0.8
(Unter "Solutions" , wobei sin^-1(...) = arcsin(...) )
Die Lösung der Gleichung:
cos(x) = y verläuft übrigens analog. Hier ist der Kosinus jedoch auf (0, pi) und (-pi, 0) monoton. Die Umkehrfunktion ist gegeben durch:
g(x) = arccos(x) g: [-1, 1] ---> [0, pi]
Die ausnutzbare Symmetrie auf [0, 2pi] ist gegeben durch:
cos(x) = cos(2pi - x)
Die Lösungen von cos(x) = y folgen also zu:
x = arccos(y) oder x = 2pi - arccos(y)
Erweitert auf IR ergeben sich die Lösungen dann in der Form:
x = arccos(y) + 2pi*k oder x = 2pi - arccos(y) + 2pi*k
mit k aus { ... , -1, 0, 1, ... } = Z .
Sie bspw die Lösung zu: cos(x) = 0.8
http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos(x)+%3D+0.8
(Unter "Solutions" , wobei cos^-1(...) = arccos(...) )
Um von sin(x) auf x zu kommen, wendest Du den arcsin an (sin^-1). Ist Dein Taschenrechner auf DRG (od. DEG je nach Rechner) eingestellt, kommt -30° raus. Das bedeutet, im Einheitskreis betrachtet, dass der Winkel nach unten abgetragen wird. Es sind also 360°-30°=330°. Da der sin die senkrechte Kathete darstellt, ist der entsprechende Winkel des "2. passenden Sinus" im 3. Quadranten bei 180°+30°=210°.
Nun entsprechen 360° im Einheitskreis 2pi. Dann sind 330°:
360°=2pi
330°=x
x=330 * 2pi / 360 = 330 * pi/180 = 11/6 pi
Das gleiche für 210°. Von diesen beiden x-Werten sind weitere Lösungen alle 2pi (alle 360°).
Das hat nichts mit der "p-q-Formel" bei quadratischen Gleichungen zu tun.
Du kannst diese Aufgabe aber durch Anschauen des Einheitskreises (Kreis um den Nullpunkt (0|0) mit Radius 1) lösen. Welche der Punkte auf der Kreislinie haben die y-Koordinate (Sinuswert) -0.5 ? Man sieht sofort, dass es genau 2 solche Punkte gibt, nämlich einen ersten beim Zentriwinkel -30° oder -π/6 (bzw. 2π - π/6 = 11π/6 ) und einen zweiten bei 180°+30° = 210° = 7π/6 .
Die Sinus- und Cosinuswerte für 0°, 30°, 45°, 60°,90° sollte man auswendig wissen und auch verstehen, wie es sich bei den entsprechenden Winkeln in den übrigen Quadranten verhält, insbesondere auch, was die Vorzeichen betrifft.
Am besten kann man Trigonometrie anhand des Einheitskreises verstehen (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis). Auch das was Du genau suchst findest Du in diesem Wiki-Artikel.