Rechenweg, warum quadriert?
Moin,
Woher kommt in der letzten zeile das quadrat?
2 Antworten
Relativ am Anfang wurde...
... formuliert. Aufgelöst nach ŷ, indem man durch exp(-2kT) dividiert bzw. äquivaltent dazu mit exp(2kT) multipliziert, erhält man...
Das Quadrat in der letzten Zeile der Lösung stammt nun von der 2 beim „2kT“ im Exponenten. Nachdem man zwischendurch exp(kT) = 8/7 gefunden hat und man aber nun aber zunächst exp(2kT) statt exp(kT) stehen hat, kann man exp(2kT) etwas umformen, um darin den Term exp(kT) wiederzufinden.
Denke dabei an die folgende Rechenregel für Potenzen...
Damit erhält man dann...
Nun kann man da exp(kT) = 8/7 und y(2T) = 8 cm einsetzen und erhält...
Ah, sorry. Da habe ich beim letzten Kommentar nicht richtig aufgepasst. Ich sollte wohl langsam eher ins Bett.
Ja, e^(-k2T)/e^(-k3T) ist nur e^(kT).
Korrektur zu meinem vorigen Kommentar... Nein, in der letzten Zeile steht nicht y(2T)*(y(2T)/y(3T)). [Keine Ahnung, wie ich darauf gekommen bin, dass y(2T)/y(3T) gleich e^(2kT) sein sollte. Das war falsch. Richtig ist y(2T)/y(3T) = e^(kT).]
Also: Das was ich in meinem vorigen Kommentar geschrieben habe, ist falsch. [Das in meiner Antwort ist aber richtig.]
Gehe das doch nochmal schrittweise durch, was ich in meiner Antwort geschrieben habe...
1. Ist dir klar, dass y(2T) = ŷ * e^(-2kT) ist? [Das steht auch relativ am Anfang der Lösung im Bild in deiner Frage.]
2. Ist dir klar, dass man ŷ = y(2T) * e^(2kT) erhält, wenn man die Gleichung y(2T) = ŷ * e^(-2kT) nach ŷ auflöst?
3. Ist dir klar, dass nach Rechenregeln von Potenzen im Allgemeinen a^(r * s) = (a^r)^s gilt?
4. Ist dir klar, dass die genannte Potenzrechenregel [für a = e und r = kT und s = 2] liefert, dass e^(kT*2) = (e^(kt))² liefert? [Nebenbemerkung: Hier siehst du evtl. bereits bei (e^(kT))² das entsprechende Quadrat stehen.]
5. Ist dir klar, dass 2kT = kT*2 ist [man den Faktor 2 in dem Produkt nach hinten tauschen kann] und dementsprechend dann e^(2kT) = e^(kT*2) = (e^(kt))² gilt?
6. Ist dir klar, dass man aus ŷ = y(2T) * e^(2kT) [aus Schritt 2 in diesem Kommentar] mit e^(2kT) = (e^(kt))² [aus Schritt 5 in diesem Kommentar] dann ŷ = y(2T) * (e^(kT))² erhält?
7. Siehst du das Quadrat „²“ bei „ŷ = y(2T) * (e^(kT))²“ in Schritt 6 in diesem Kommentar?
8. Bist du nun immer noch verwirrt, woher dieses Quadrat gekommen ist? Wenn, ja: Bei welchem der Schritte in dem Kommentar hast du Schwierigkeiten? Oder kannst du sonst beschreiben, warum du noch verwirrt bist?
Ergänzend dazu: Wenn du die Schritte nachvollzogen hast, solltest du letztendlich merken, dass das Quadrat bei „ŷ = y(2T) * (e^(kT))²“ [aus Schritt 5 bzw. 6 in diesem Kommentar] im Grunde von der 2 in „y(2T) = ŷ * e^(-2kT)“ [aus Schritt 1 in diesem Kommentar] stammt.
Die Schwingung sinkt in jeder aufeinanderfolgenden Amplitude auf ⅞ des Wertes der vorangehenden Amplitude ab: Aₙ=⅞Aₙ₋₁. Also müssen wir einfach von der 3. Schwingung (A₃=8) auf die 1. Schwingung zurückrechnen:
A₃ = ⅞A₂ = (⅞)²A₁ ⟹ A₁ = A₃/(⅞)² = 10.449
Aber ist die letzte Zeile nicht eig y(2T)*(y(2T)/y/3T))?