Grenzwert bei unendlich/unendlich?
wenn man den grenzwert/limes ausrechnet von ♾️ und man dann „♾️“/ „♾️“ hat. ist dann der grenzwert ♾️ oder 1
4 Antworten
Wenn du z. B. zwei Funktionen f(x) und g(x) hast, die beide gegen Unendlich gehen, falls x gegen Unendlich geht, dann kann der Ausdruck
f(x) / g(x)
immernoch einen endlichen Grenzwert haben (siehe Antwort von Halbrecht).
Was du oben stehen hast („♾️“/ „♾️“), ist aber etwas anderes, nämlich statt
lim( f(x) / g(x) )
steht dort
(lim f(x)) / (lim g(x)).
Diesen Grenzwert kann man nicht angeben, da es sowohl für Zähler als auch Nenner keinen Grenzwert gibt (nämlich Uendlich).
In Ergänzung zur Antwort von Halbrecht und zur Erläuterung von TBDRM hier eine Skizze:
Die Rechnung für den Grenzwert der blauen Funktion ginge ungefähr so:
Kann man nicht so sagen
limes (x+2)/(2x-3) ist 0.5
limes (x²+5)/(x³ + 8) ist Null
„♾️“ ist nicht definiert, deshalb sind auch alle Rechenoperationen mit diesem Term undefiniert. „♾️“ + „♾️“ = 2*„♾️“ ??
ich dachte, dass man so den limes von „♾️“ ausrechnet, indem man ausrechnet ob +„♾️“ oder - „♾️“ rauskommt, wenn man „♾️“ einsetzen würde
Nein, das darf man so nicht sehen, weil es zu sonst unsinnigen Ergebnissen führt. Die Beispiele von Halbrecht zeigen ja gerade, dass man zu unterschiedlichen Resultaten kommen kann (Die Regel von L'Hospital kann hier manchmal weiterhelfen).
Hier ist also entscheidend, dass der Limes für den ganzen Ausdruck gilt, da wir so bspw. Rechengesetze für Divisionen anwenden dürfen.
Was bei dir steht mit „♾️“/ „♾️“ würde eher heißen, dass du den Limes für die Zählerfunktion und den Limes für die Nennerfunktion separat ausrechnest und dann die Division betrachtest. Das ist aber etwas anderes und ist in diesem Fall auch nicht definiert (Uendlich ist kein Zahl).
Nicht entscheidbar.
Es gibt verschiedene Unendlichkeiten.
Beispielerweise kann auch die Subtraktion zweier Summen deren GW gegen unendlich geht, endlich sein.
aber wäre bei den beiden nicht (wenn man „♾️“ einsetzt) das Ergebnis „♾️“/ „♾️“