Quartil meint übersetzt "Viertelwert". Quartile zerlegen eine sortierte Datenreihe der Größe n in vier gleich große Abschnitte.

Eigenschaft des ersten Quartils Q1: höchstens ein Viertel der Datenwerte sind kleiner als Q1.

Eigenschaft des zweiten Quartils Q2: höchstens zwei Viertel der Datenwerte sind kleiner als Q2.

Eigenschaft des dritten Quartils Q3: höchstens drei Viertel der Datenwerte sind kleiner als Q3.

Q4 entspricht einfach dem Maximum der Datenreihe.

Je nach Anzahl der Daten n ist eine exakte Einteilung in gleich grosse Abschnitte nicht möglich. Zur Berechnung geht man deshalb wie folgt vor:

• die Datenreihe wird sortiert, mit dem kleinsten Wert beginnend.
• Bestimmung von Q2:

Ist n gerade, zerfällt die Datenreihe in zwei gleich grosse Hälften A1 und A2 der Grösse n/2. Q2 enspricht dann dem Mittelwert aus dem grössten Wert von A1 und dem kleinsten Wert von A2.

Ist n ungerade, fällt die Mitte der beiden Hälften auf einen bestimmten Wert der Datenreihe. Das ist dann Q2.

• Bestimmung von Q1:

genauso vorgehen wie bei Q2, man betrachtet nun lediglich die obige Hälfte A1.

• Bestimmung von Q3:

genauso vorgehen wie für Q2, man betrachtet nun lediglich die obige Hälfte A2.

Beispiel:

Datenreihe: 7,13,9,7,11,16,3,4,8,15,5,13,7,13

Datenreihe sortiert: 3,4,5,7,7,7,8,9,11,13,13,13,15,16

n = Anzahl der Werte = 14

Bestimmung Q2:

Hälfte 1 (n/2 = 7 Werte): 3,4,5,7,7,7,8

Hälfte 2 (n/2 = 7 Werte): 9,11,13,13,13,15,16

Q2 = (8+9)/2 = 8.5

Bestimmung Q1:

Datenreihe sortiert (= Hälfte 1): 3,4,5,7,7,7,8

n = Anzahl der Werte = 7

neue Hälfte 1 (3 Werte): 3,4,5

Wert in der Mitte: 7

neue Hälfte 2 (3 Werte): 7,7,8

Q1 = 7

Bestimmung Q3:

Datenreihe sortiert (= Hälfte 2): 9,11,13,13,13,15,16

n = Anzahl der Werte = 7

neue Hälfte 1 (3 Werte): 9,11,13

Wert in der Mitte: 13

neue Hälfte 2 (3 Werte): 13,15,16

Q3 = 13

Es gibt auch alternative Berechnungen für Q1-Q3, um die jeweiligen Werte direkt der Datenreihe zu entnehmen oder aber aus dem Mittelwert zweier Nachbarn. Ich halte das obige Verfahren für einprägsamer.

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Bei kleinen Datenreihen mit z.B. n<=5 machen die Quartile wenig Sinn. Bei n=2 z.B. könnte man jeden Wert verdoppeln, dann hat man 4 Datenwerte.

Beispiel: 5,9 --> 5,5,9,9

Q2 = (5+9)/2 = 7

Q1 = (5+5)/2 = 5

Q3 = (9+9)/2 = 9

Das kann man theoretisch so machen, hat aber wenig Aussagekraft.

Erst mal danke für Deine interessanten Überlegungen.

Wurzel(2) ist nicht als Bruch darstellbar und deshalb als irrational definiert.

Die Aussage "0.99.. = 1" ist kein Gegenbeispiel. Denn jede periodische Dezimalzahl lässt sich als Bruch darstellen und ist damit eine rationale Zahl.

Die Aussage "0.99.. = 1" hat nichts mit einer Grenzwertbetrachtung zu tun, denn das ergibt sich rein rechnerisch:

1 = 1/3 + 1/3 + 1/3

1 = 0.33.. + 0.33.. + 0.33.. = 0.99..

Falls es um die Aufgabe b) geht:

Liegt A im Ursprung, gilt für die Koordinaten von C:

Cx = b*cos(α) = 4.8*cos(105°) ~ -1.24233

Cy = b*sin(α) = 4.8*sin(105°) ~ 4.63644

Abstand CD = sqrt( (Cx-Dx)² + (Cy-Dy)² ) = sC = 6.5

Wegen Dy = 0 folgt:

Abstand CD = sqrt( (4.8*cos(105°) - Dx)² + (4.8*sin(105°))² = 6.5

Daraus folgen für Dx zwei Lösungen:

Dx ~ 3.31326, Dx' ~ -5.79792, die negative Lösung entfällt (weil dann der Winkel α nicht mehr stimmt).

Für den Punkt B gilt dann : B = (2*Dx, 0)

Daraus folgen die Seiten a = Abstand BC und c = Abstand AB, und aufgrund des Sinussatzes die fehlenden Winkel. Daraus sollte sich wA ableiten lassen.

Bei drei Münzwürfen gibt es 8 Möglichkeiten.

3x Kopf: 1 Möglichkeit mit p1 = 1/8 

2x Kopf: 3 Möglichkeiten mit p2 = 3/8

1x Kopf: 3 Möglichkeiten mit p3 = 3/8

0x Kopf: 1 Möglichkeit mit p4 = 1/8

Sei X die Anzahl von Kopf bei 3 Würfen:

E(X) = µ = 3*p1 + 2*p2 + 1*p3 + 0*p4 = 1.5

Var(X) = (3-µ)²*p1 + (2-µ)²*p2 + (1-µ)²*p3 + (0-µ)²*p4 = 0.75

Standardabweichung = sqrt(0.75) 

Vermutung für n Würfe :

E(X)= n/2

Var(X) = n/4

Geraden in der Ebene sind orthogonal, wenn die Richtungsvektoren orthogonal sind.

Im n-dimensionalen Raum (n >= 3) ist kein Schnittpunkt nötig. Geraden können auch dann orthogonal sein, wenn sie windschief zueinander sind.

Betrachte dazu einfach einen Würfel, und zwar eine Kante an der Oberseite, dann den Würfel um 90° drehen, und dann eine Kante an der Unterseite. Die beiden Kanten bilden einen Winkel von 90°, schneiden sich aber nicht.

Das gilt freilich nicht für Vektoren mit demselben Ortspunkt, denn die schneiden sich völlig unabhängig von der gegenseitigen Lage.

Wie man die Seiten a,b,c berechnet wird hier erklärt:

https://www.youtube.com/watch?v=YLgIPaS92AI

und für die Länge der Seitenhalbierenden gilt

Sa = 1/2*sqrt( 2(b²+c²) - a²)

Sb = 1/2*sqrt( 2(a²+c²) - b²)

Sc = 1/2*sqrt( 2(a²+b²) - c²)

Sei M die Menge M = {Mann} und F die Menge F = {Frau}. Die Mengen M und F sind begrenzt (z.B. bezüglich IQ) und kompakt (z.B. bezüglich Gewicht). Die Schnittmenge S = M ∩ F ist erfahrungsgemäß die Nullmenge, S = {∅}. Das gilt jedoch nicht für die Vereinigungsmenge V = M ∪ F. Für V gilt: M ∪ F = K = {Kind}. Aus K != {∅} folgt, dass entweder M oder F keine Nullmenge sein kann. Da sich nach neuesten mathematischen Erkenntnissen die Menge M in die Menge F projizieren lässt (und umgekehrt), folgt M != {∅} als auch F != {∅}, und damit die Existenz von M und F.

Dreieck 1: 10, 10°, 160°

Dreieck 2: (180-160) = 20°, 20°, 140°

Dreieck 3: (180-140) = 40°, 40°, 100°

Das ist keine Übergangsmatrix, denn die Summe aller Zeilen müsste (1,1,1,1) ergeben.

a)

Das Baumdiagramm sieht so aus. Die 8 Wahrscheinlichkeiten ganz rechts sind die Produkte der jeweiligen 3 Äste.

Beispiel (Leuchte 1 ok und Leuchte 2 ok und Leuchte 3 ok) ~ 87%

b)

In diesem Fall werden an jeden der 8 Äste zwei weitere Äste mit "Montage Fehler 0.03" und "Montage ok 0.97" drangehängt.

Beispiel (Leuchte 1 ok und Leuchte 2 ok und Leuchte 3 ok und Montage ok) ~ 0.866 * 0.97

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Mag sein, aber ich hätte keinerlei Motivation als Verstorbener auf die noch Lebenden zu blicken. Soviel Dummheit im Umgang mit der Natur ist schwer zu ertragen. Ich lande dann wohl eher in der 5ten Dimension.

Aufgrund der Symmetrie des Signals fallen die Sinus-Anteile weg:

F(ω) = 2 * ∫ [0,∞] g(t) * cos(ω*t) dt

mit

g(t) = -t + 4 für 0 <= t < 2

g(t) = t  für 2 <= t < 3

g(t) = -t + 6 für 3 <= t < 4

g(t) = 0 für t >= 4

Das Integral kann man in drei Summen zerlegen.

Arbeit * Zeit * Faktor = Leistung

4 Arbeiter * 5 Tage * Faktor = 1 Garten

daraus folgt: Faktor = 1/20

Während der Vorbereitung können nur 2 Arbeiter 3 Tage lang den Garten pflegen (die Vorbereitungen betreffen nur einen Teil des Gartens):

2 Arbeiter * 3 Tage * 1/20 = 6/20 Garten

Fehlen nach 3 Tagen noch 14/20 Garten für nun 4 Arbeiter:

4 Arbeiter * t Tage * 1/20 = 14/20 Garten

Nach t auflösen:

t = 14/20*20/4 = 14/4 = 3.5 Tage

Um im Zusammenhang mit zwei Vektoren von einer Fläche zu sprechen, müsste man wissen, welche Figur die beiden Vektoren aufspannen.

Handelt es sich um ein Dreieck, und beginnen beide Vektoren am selben Ortspunkt, ergibt sich die aufgespannte Fläche aus dem halben Kreuzprodukt der beiden Vektoren.

Im 2D-Fall:

Fläche Dreieck = 1/2 * (1,1) x (2,4) = 1/2 * (1*4 - 1*2) = 1

Bei Frage b) ist unklar, welche zweite Ableitung gemeint ist.

Falls es sich um f''(x) handelt, gilt f''(x) = -1, und die dazu identische Gerade lautet h(x) = -1, d.h. m = 0

Fall h''(x) gemeint ist, gilt h''(x) = 0. f(x) = 0 gilt für x = -2*sqrt(2) (und liegt im Definitionsbereich). Dann liegt ein gemeinsamer Punkt bei x = -2*sqrt(2).

Die Steigung der Geraden lautet (100-78)/(0-3) ~ -7.33

4 Stunden 45 Minuten = 4 + 3/4 Stunden = 4.75 Stunden.

a)

Das Dreieck ABC liegt auf einer quadratischen Grundfläche mit der Kantenlänge 4. Deshalb ist das Dreieck gleichschenklig und rechtwinklig mit der Fläche 4*4*1/2 = 8

b)

g(r) = A + r*(C-A)

h(s) = B + s*(F-B)

Die beiden Geraden sind windschief, weil sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Das geht schon allein aus der Konstruktion hervor. Wenn man das nachrechnen soll, ist zu zeigen, dass die Gleichung h(s) = g(r) keine Lösung hat.

c)

Die xy-Ebene lautet z = 0. Der Normalenvektor lautet n1= (0,0,1)

Die Ebene E(t) hat den Normalenvektor n2 = (t,t,-4)

Für den Winkel zwischen beiden Vektoren gilt:

cos(w) = |n1*n2|/(|n1|*|n2|)

cos(w) = 4/sqrt(t²+t²+16)

Wegen cos(60°) = 1/2 folgt

1/2 = 4/sqrt(t²+t²+16)

daraus folgt:

sqrt(t²+t²+16) = 8

t²+t²+16 = 64

Lösungen: t = +- sqrt(24)

gesamtes Rechteck: a*c

rechtwinkeliges Dreieck (links unten), Fläche = Basis*Höhe*1/2: (a-b)*(c-d)*1/2

Raumfläche = a*c - (a-b)*(c-d)*1/2 = 24 - 2 = 22 m²

Wäre ich der Mathelehrer, und Du hättest herausgefunden, dass die Note eine Zahl mit Periode 769230 ist, die dem Bruch 181/52 entspricht, gäbe ich Dir die Note 2.

Angenommen man hat einen Vektor (3x,3y,3z), dann kann man den Faktor 3 rausziehen:

(3x,3y,3z) = 3*(x,y,z)

Genau das wird in der Aufgabe verlangt. Die Koordinaten x,y,z sind Brüche und sollen durch einen geeigneten Faktor vor dem Vektor in ganze Zahlen umgeformt werden.

Beispiel:

(2/5, -3, 1/2)

Zuerst multipliziert man alle Koordinaten mit dem Faktor 5, dann verschwindet der Bruch bei x:

(2, -15, 5/2)

Jetzt noch mit dem Faktor 2, dann verschwindet der Bruch bei z:

(4, -30, 5)

Damit das Ergebnis mit dem Original übereinstimmt, müssen wir jetzt den Faktor 1/(2*5) = 1/10 davor setzen:

(2/5, -3, 1/2) = 1/10 * (4, -30, 5)

Bei Aufgabe c) geht es anders herum, denn

(18,-12,24) = 6*(3,-2,4)