Wozu benutzt man komplexe Zahlen?
Welche Erfindungen gibt es in der Wissenschaft nur durch komplexe Zahlen?
4 Antworten
Ich würde sagen, man benutzt komplexe Zahlen als Rechenhilfe und zur Darstellung von Ergebnissen. Komplexe Zahlen haben interessante Eigenschaften...
Sie lassen sich z.B. als zweidimensionaler Vektor interpretieren (Gaußsche Zahlenebene) und sie verbinden trigonometrische Funktionen (Sinus/Kosinus) mit der e-Funktion: e^(i*t) = cos(t) + i*sin(t). Darüber hinaus erlauben sie komplexe Nullstellen: x^2=-1 wird somit z.B. lösbar... Alle Polynome vom Grad n haben dann auch n-Nullstellen.
In der Physik/Ingenieurwissenschaft nutzt man sie als Recheninstrument für Schwingungen - das funktioniert sowohl bei elektrischen, als auch mechanischen (oder sonstigen Systemen). Da man zeitliche Veränderungen einer Größe immer auch als überlagerte Schwingungen betrachten kann, hilft die Rechnung mit komplexen Zahlen, wie sich Systeme verhalten - ob z.B. eine Brücke bei bestimmten Bedingungen anfangen kann zu schwingen, ob eine Regelung stabil ist...
In der (genauer betrachteten) Elektrotechnik oder der Elektrodynamik.
Die Elektrodynamik beschreibt beispielsweise die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen wie Licht, Radiowellen, Gammastrahlung, ...
Bei der Betrachtung von Brechung von Licht an verschiedenen Materialien kommt beispielsweise heraus, dass ein Metall nicht transparent ist, weil der Brechungsindex komplex ist. Das klingt vielleicht abstrus - im wesentlichen versteht man die Vorgänge der physikalischen Welt ab einem bestimmten Level zum Teil nicht mehr ohne komplexe Zahlen.
Da sehr viele Erfindungen direkt oder indirekt mit Elektrodynamik zu tun haben, hängen sind (oft unbemerkt) von komplexen Zahlen ab.
Ganz offensichtlich wird es aber beispielsweise bei Wechselstromkreisen, bei denen man komplexe Zahlen schon auf einem mittleren Abstraktionslevel braucht.
Komplexe Zahlen eignen sich für alles, was mit Schwingungen oder Wellen zu tun hat, weil sie über x=R⋅cos(φ) und y=R⋅sin(φ) einen Winkel enthalten, der natürlich wie jeder Winkel ein periodisches Verhalten zeigt (φ=φ+2nπ), und Schwingungen sind ja periodisch.
Deshalb braucht man komplexe Zahlen in der Quantenmechanik, wo Teilchen als Wellen (mit irgendwie periodischem Verhalten) beschrieben werden.
Es gab keine Erfindungen nur durch komplexe Zahlen. Sie sind aber ein angenehmer Rechentrick. Kann man aber genauso alles ohne komplexe Zahlen rechnen.