wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei unendlich münzwürfen irgendwann mehr kopf als zahl geworfen wurde?
2 Antworten
Deine Frage ist nicht ganz unmissverständlich. Man muss hier unterscheiden zwischen der Frage, ob dieses Ereignis irgendwann (d.h. irgendwann nach endlich vielen Würfen) eintritt und der Frage, ob bei unendlich vielen Würfen die Anzahl von Kopf höher ist als die von Zahl.
Zur ersten Frage: Irgendwann sicher (im Sinne von Wahrscheinlichkeit 1) zwischendurch (d.h. irgendwann nach endlich vielen Würfen). Bei einem unendlichen Münzwurf gibt es irgendwann fast sicher einen Durchgang, in dem die Anzahl geworfener Köpfe echt größer ist als die geworfener Zahlen.
Zur zweiten Frage: "Nach" unendlich vielen Würfen ist die Wahrscheinlichkeit allerdings null.
Beim klassischen Münzwurf sind die Einzelwürfe endlich, paarweise unabhängig und identisch verteilt. Damit liefert das starken Gesetz der großen Zahlen einen Grenzwert 1/2 für die relative Häufigkeit von sowohl Kopf, als auch Zahl.
Im Grenzwert (!) - und das ist die Formalisierung von "unendlich mal werfen" - geht das Verhältnis von Kopf zu Zahl also gegen 1, d.h. salopp gesagt kommen Kopf und Zahl im Grenzwert "genauso oft" vor. In Anführungszeichen, weil hier natürlich Unendlichkeiten verglichen werden, aber eine Verhältniskonvergenz gegen 1 wie sie hier vorkommt ist das, was man sich anschaulich als "schließlich genauso oft" bei unendlich vielen Durchgängen vorstellt.
Tatsächlich ist die "intuitive" Wahrscheinlichkeitstheorie bei Grenzwertbetrachtungen aber mit Vorsicht zu genießen. Hier entstehen schnell Missverständnisse, weil mit Grenzwerten zu unachtsam umgegangen wird. Das liegt schlicht daran, dass solche unendlichen Experimente in der Praxis nicht umsetzbar sind. Man muss sich so ein Experiment als das vorstellen, dem sich alle endlichen Experimente "annähern". Die Formalisierung dessen ist nicht ganz einfach und fußt im Wesentlichen auf die beiden Begriffe der fast sicheren Konvergenz und der Konvergenz in Verteilung, die es sich bei Interesse anzuschauen lohnt.
100%
Denn wenn wir unendlich oft werfen, kommt es unendlich oft zu jedem möglichen Szenario. Also auch unendlich oft dazu, dass es öfter Kopf als Zahl gab!
Dies lässt sich sehr leicht mit der Mengenlehre anschaulich darstellen. Nimm alle natürlichen Zahlen: Diese Menge ist laut Mathematiker unendlich, bestehend aus geraden und ungeraden Zahlen, einige davon sind Primzahlen, usw. Und obwohl nicht jede Zahl gerade bzw. ungerade ist sondern theoretisch gerade mal die Hälfte aller Zahlen, ist jede Teilmenge trotzdem ebenfalls unendlich!
Wenn wir also eine wirklich unendliche Menge an Wiederholungen voraussetzen, muss jede theoretisch mögliche Teilmenge ebenfalls unendlich sein.
Als Nachtrag, da ich die Frage scheinbar anders verstanden habe als andere Personen hier: Die Aussage 100% versteht sich als Zwischenbilanz "auf dem Weg" zur Unendlichkeit.
Wenn du nach jedem Wurf gucken würdest, ob du öfter Kopf als Zahl geworfen hast, dann würde das Ereignis unendlich oft eintreffen, genauso wie Gleichstand und Zahl>Kopf.
Zweiter Nachtrag: Einige "Mathematiker" stören sich an den 100%, da immer eine Restwahrscheinlichkeit bestehen bleibt, so winzig sie auch sein mag, sich die Wahrscheinlichkeit also nur 1 annähert. Das sind dann aber dieselben Mathematiker, die sich ursprünglich zu Sätzen wie
"Nach" unendlich vielen Würfen ist die Wahrscheinlichkeit allerdings null.
hinreißen ließen, was man dann ebenfalls bemängeln muss!
Stichworte "unendlich" und "irgendwann"!
Zumindest habe ich die Frage so verstanden, dass man unendlich oft wirft und nach jedem Wurf dann guckt, wie es quasi steht zwischen Zahl und Kopf. Und dabei wird es dann unendlich oft Gleichstand geben, als auch unendlich oft Zahl>Kopf und Kopf>Zahl.
Wenn er wissen will, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass nach unendlich vielen Würfen Kopf>Zahl ist, dann wäre die WZ dafür praktisch 0 - das lese ich aus der Frage allerdings nicht, denn dann wäre das Wort "irgendwann" so völlig fehl am Platz!
Ah du hast tatsächlich recht. Die Frage ist dahingehend uneindeutig formuliert. Ich denke aber, es lässt sich davon ausgehen, dass er/sie die Bilanz nach unendlich vielen Würfen meint.
Wie kommst du darauf? Denn für mich ließt es sich eher in der Richtung, dass er "irgendwann" auf dem Weg zur Unendlichkeit dieses Ergebnis vorfinden wird, wofür die WZ 100% ist.
Interpretationssache, warten wir also ab, was der Fragesteller davon hält. :P
Denn wenn wir unendlich oft werfen, kommt es unendlich oft zu jedem möglichen Szenario
Das ist übrigens mal wieder das klassische Unendlichkeits-Missverständnis. Nur weil unendlich oft geworfen wird, kommt nicht jedes Ereignis sicher vor (geschweige denn unendlich oft).
Damit wäre dann sämtliche Wahrscheinlichkeitsrechnung belanglos. Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung setzen wir voraus, dass jedes Ereignis seiner Wahrscheinlichkeit nach eintrifft. Wenn wir also unendlich oft werfen ...
Und da mittlerweile ja mathematisch bewiesen wurde, dass Unendlichkeiten unterschiedlich groß sein können (https://www.spektrum.de/news/von-unendlichkeit-zu-unendlichkeit/1507787) gibt es nicht auszusetzen an meiner Antwort.
Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung setzen wir voraus, dass jedes Ereignis seiner Wahrscheinlichkeit nach eintrifft.
Das ist die Idee einer Wahrscheinlichkeit, hat aber mit der Behauptung, alle Ereignisse würden bei unendlich vielen Durchgängen unendlich oft eintreten, relativ wenig zu tun.
Nimm’s mir nicht übel, aber es gibt einen Unterschied zwischen formaler Mathematik und populärwissenschaftlichen Laien-Internetartikel und deine Kommentare klingen mir genau wie aus einem solchen (Spektrum…). Wie gesagt, das ist nicht böse gemeint, aber obiges stimmt halt einfach nicht.
Dass es verschiedene Klassifizierungen von Unendlichkeit gibt, ist übrigens auch nichts, was zu beweisen ist, sondern eine Definition. Aber das gibt natürlich keine Klicks ;-)
Das ist die Idee einer Wahrscheinlichkeit, hat aber mit der Behauptung, alle Ereignisse würden bei unendlich vielen Durchgängen unendlich oft eintreten, relativ wenig zu tun.
Das eine schließt das andere quasi automatisch mit ein, wenn es keine Begrenzung der Experimentdurchführung gibt.
Sehr einfach veranschaulicht:
1 - 0,9 Periode = 0
ja oder nein? Als Mathematiker wirst du mit Sicherheit "ja" sagen, da man voraussetzen kann, dass beide Zahlen gleich sind, man also trotz theoretisch "unendlicher" Subtraktion annehmen kann, dass der Rest 0 ist.
Genauso gilt das mMn für Wahrscheinlichkeiten im Bereich der unendlichen Wiederholungen.
1 - 0,5^unendlich = 1
Auch wenn ich natürlich weiß, dass du als Mathematiker nun den Finger erhebst und sagst "die Zahl unendlich gibt es nicht". Dann gibt es aber auch keine theoretisch unendliche Wiederholung des Experiments!
mMn
Und das ist der Knackpunkt. Ich möchte hier keine Grundsatzdiskussion anfangen und denke, wir haben das bis hierhin ausreichend diskutiert ;-)
Der typische Mathematiker. Ist 1-0,5^unendlich=1 oder gibt es die Zahl unendlich nicht, damit aber auch keine unendliche Wiederholung des Experiments?
Die Einschätzung überlasse ich euch Mathematikern: willkommen im Realismus!
Na gut, ein letzter Satz dazu:
ist die informell-populärwissenschaftliche Ausdrucksform für das formal gefasste
und so verhält es sich auch formal bei jedem gerne schnell dahingesagten "unendlich oft": Es steht für einen Grenzwertprozess, für die Überlegung, ob es einen Wert gibt, dem eine Folge beliebig nah kommt, ihn aber nicht notwendigerweise annehmen muss (und der letzte Halbsatz ist, so mein Gefühl, die schwierigste zu schluckende Pille, wenn man mit formaler Mathematik nichts oder nur wenig zu tun hat).
Schönes Restwochenende ;-)
Viel blabla um die Frage drumherum. Dann lass es mich anders ausdrücken: Mit jeder Versuchswiederholung nähert sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man als Zwischenergebnis "irgendwann" (wie in der Fragestellung formuliert) das Szenario Kopf > Zahl hat, mehr und mehr der Wahrscheinlichkeit von 1 an.
Wenn du das Experiment also "unendlich" oft wiederholst, dann ...
Schönes Leben noch! :-)
Der typische Mathematiker...
Die Einschätzung überlasse ich euch Mathematikern: willkommen im Realismus!
Wegen fehlender gemeinsamer Basis erübrigt sich wohl alles Weitere ;-)
Been there, done that.
Wegen fehlender gemeinsamer Basis erübrigt sich wohl alles Weitere
Stimmt, deinen fehlenden Intellekt stellst du ja quasi täglich zur Show! :-D
Wusst' ich doch, dass man dir nur ein Stöckchen hinhalten muss, damit du springst ;-)
Genauso wie du die Trap mit Ansage getriggert hast. :-)
Ich bin einfach ein sehr großzügiger Mensch, der eine so vorzügliche Vorlage nicht ohne Volltreffer liegen lässt, selbst wenn diese von dir stammte.
Ich verstehe die 100% nicht.
Die Wahrscheinlichkeit für "nur Zahl" ist 1/2*1/2...., was nicht 0 ergibt. Also ist die Gegenwahrscheinlichkeit für "mindestens einmal Kopf" nicht 1.
Was daran liegt, dass Mathematiker ein perplexes Verständnis von der Unendlichkeit haben. Zwar gibt es unendliche viele Zahlen und auch unendlich viele Zahlen mit unendlich vielen Stellen, die Zahl unendlich gibt es aber nicht, da diese nicht klar definiert werden kann.
Entsprechend müsste die korrekte mathematische Antwort auf die Fragestellung sein "Was verstehst du unter unendlich oft?". Ich bin da wesentlich einfacher gestrickt und erlaube die Zahl "unendlich" und nicht nur als Grenzbereich.
Dass Mathematiker damit ein Problem haben, ist mir natürlich klar, aber auch unendlich egal! :)
Das stimmt ziemlich sicher nicht. Stichwort Gesetz der Großen Zahlen, siehe diese Antwort https://www.gutefrage.net/frage/wie-hoch-ist-die-wahrscheinlichkeit-dass-bei-unendlich-muenzwuerfen-irgendwann-mehr-kopf-als-zahl-geworfen-wurde#answer-416779730