Was sind die Bedingungen, damit D im Dreieck ABC liegt?

4 Antworten

In der Ebenengleichung muss die Summe r+s der Faktoren der Richtungsvektoren größer 0 und kleiner 1 sein

Ein Punkt D liegt genau dann im Dreieck ABC, wenn es r, s, t ∈ ℝ mit



und



und



gibt.

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Falls nicht nur das Innere des Dreiecks ABC genannt ist, sondern der Punkt D auch am Rand des Dreiecks liegen darf (also auf einer der Seiten liegen darf oder gleich einem der Eckpunkte sein darf), schwächt sich die Bedingung mit r > 0 und s > 0 und t > 0 zu r ≥ 0 und s ≥ 0 und t ≥ 0 ab.

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Bzw. kann man das auch auf einen der Eckpunkte beziehen, beispielsweise auf den Punkt A und erhält dann...

Ein Punkt D liegt genau dann im Dreieck ABC, wenn es s, t ∈ ℝ mit



und



und



gibt.

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Oder auch so, wenn du den Ortsvektor des Punktes D beschreiben möchtest, statt den Vektor AD...

Ein Punkt D liegt genau dann im Dreieck ABC, wenn es s, t ∈ ℝ mit



und



und



gibt.

[Da kann man anhand der letzten Bedingung auch recht gut eine Ebenengleichung in Parameterform erhalten. Denn der Punkt D muss natürlich auch in der entsprechenden Ebene sein. Nur, dass es eben nicht irgendein Punkt der Ebene sein muss (was wäre, wenn s und t beliebige reelle Werte sein dürften), sondern die Parameter der Richtungsvektoren eingeschränkt sind.]

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Auch hier kann man die Bedingungen s > 0 und t > 0 und s + t < 1 zu s ≥ 0 und t ≥ 0 und s + t ≤ 1 abschwächen, wenn man Punkte D auf dem Rand des Dreiecks zulassen möchte.

Der Punkt D muss die Ebenengleichung aus Teil 2c1 erfüllen, und er muss für jede der 3 Seiten auf derjenigen Seite (d.h. Hälfte der Ebene) liegen auf der auch die dritte Ecke liegt.

Es gibt veschiedene Möglichkeiten, das zu testen, z.B.:

Zunächst prüfen, ob D in der Ebene ABC liegt. Wenn ja, Fläche Dreieck ABC bestimmen und mit der Summe der Dreiecksflächen ABD, BCD und CAD vergleichen. Die muss übereinstimmen, wenn der Punkt D innerhalb des Dreiecks liegt. Ist eine Teilfläche gleich Null, liegt der Punkt D auf einer Seite des Dreiecks.