Wie konstruiert man ein rechtwinkliges Dreieck ABC wo nur drei winkel gegeben sind?
Die Aufgabe: Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit alpha=55,beta=35 und gamma=90. Miss die seitenlängen. Berechne sin(alpha) , cos(alpha) , sin(beta) , cos(beta). Was kannst du entdecken?
5 Antworten
Hallo,
Du solltest entdecken, daß bei gleichen Winkeln die Verhältnisse der Dreiecksseiten unabhängig von der Größe des Dreiecks immer gleich bleiben. Auf dieser Tatsache beruht die Trigonometrie.
Wenn Du nur Winkel, aber keine Seitenlängen gegeben hast, kannst Du nach diesen Angaben eine unendlich Zahl an ähnlichen Dreiecken konstruieren.
Dabei werden zwar nicht die Längen der einzelnen Seiten, aber ihre Verhältnisse zueinander immer gleich bleiben - dafür sorgen die gleichen Winkel.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt dies für die Verhältnisse zwischen den Katheten und der Hypotenuse untereinander; im allgemeinen Dreieck für die Verhältnisse zwischen Seite und gegenüberliegenden Winkel bzw. für zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel.
Herzliche Grüße,
Willy
Wie bereits gesagt, sind beliebig viele Dreiecke möglich.
Du zeichnest eine Seite (c = Hypotenuse) beliebig lang, trägst an den Enden zwei Geraden (a und b = Katheten) im Winkel von 55° bzw. 35° an. Diese müssen sich in einem Winkel gamma = 90° schneiden.
Die Seiten des Dreiecks mißt Du aus und berechnest die Sinus- und Cosinuswerte. Du wirst feststellen, daß sin(alpha) = cos(beta) und cos(alpha) = sin(beta) ist.
Wenn Du außerdem die Sinus- und Cosinuswerte der beiden Winkel mit dem Taschenrechner direkt ausrechnest, kannst Du feststellen, wie genau Deine Konstruktion war, bzw. wie genau Du die Strecken ausgemessen hast.
Die Seitenlängen sind natürlich nicht absolut, sie stehen halt nur in einem bestimmten Verhältnis zueinander.
Hier ist die Größe des Dreiecks nicht festgelegt, du kannst also eine Seitenlänge beliebig festlegen, der Rest ergibt sich dann.
Die Seitenlängen sind ja beliebig, du hast ja eine Seitenlänge beliebig festgelegt. Das Verhältnis der Seitenlänge ist jedoch fest.
Du hast ja die Seitenlängen a,b,c gemessen. Berechne jetzt a/c und b/c, das wären dann sie Seitenlängen von a und b wenn Hypothenuse c=1 wäre, quasi normiert. Was fällt auf?
Einfach eine Gerade zeichnen, dann mit Hilfe des Geodreicks die Winkel abmessen
Ja,aber was entdeckt man dort dann?