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Bei Matheolympiadeaufgaben bitte immer die (sechsstellige) Aufgabennummer angeben. Dann weiß man, zu welcher Klassenstufe und zu welcher Stufe der Matheolympiade sie gehört.
Wurzel(2x - a) >= x
Einen Teil der Lösungsmenge kann man hier schon erkennen.
Zuerst verfolgen wir den Fall x <= 0.
Die Ungleichung ist immer erfüllt, es muss aber x >= a/2 sein, damit die Wurzel definiert ist.
Also: Wenn a <= 0, dann sind alle x mit a/2 <= x <= 0 Lösung.
Jetzt verfolgen wir den Fall x > 0.
Wir quadrieren
2x - a >= x^2
x^2 - 2x + 1 <= 1 - a
(x - 1)^2 <= 1 - a
Das hat nur Sinn, wenn a <= 1
|x -1| <= Wurzel(1 - a)
-Wurzel(1 - a) <= x - 1 <= Wurzel(1 - a)
1 - Wurzel(1 - a) <= x <= 1 + Wurzel(1 - a)
Zusammenfassung:
1) Für a > 1 gibt es keine Lösung.
2) Für 0 < a <= 1 sind, alle x mit
1 - Wurzel(1 - a) <= x <= 1 + Wurzel(1 - a) Lösungen.
3) Für a <= 0 sind alle x mit a/2 <= x <= 0 Lösungen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ich mich irre, ist relativ hoch. Früher fanden die Matheolympiaden in einem Klassenraum statt, und nicht wie jetzt abends im Garten mit dem Handy in der Hand in der Sonne sitzend.
60 = 60. Matheolympiade (2020/21)
12 = 12. Klasse (kann auch 11. oder 13. sein)
2 = 2. Runde (Regionalrunde, früher Kreisolympiade)
3 = 3. Aufgabe
Ich würde es folgendermaßen angehen:Dann würde ich die PQ-Formel anwenden:Die Wurzel darf nicht negativ werden, also:Alle Werte für a, die kleiner oder genau 1 sind, haben Lösungen für die Gleichung; und die Lösungen für jedes a dieser Gleichung setzt sich aus folgender Gleichung zusammen:Aber man muss bedenken, dass es ja ursprünglich eine Ungleichung ist, weshalb die PQ-Formel hier nur die Grenze zeigt, also ist der Bereich zwischen den beiden Nullstellen wichtig, da dieser im positiven Bereich (also über Null) liegt.
Also ist der Bereich von der ersten Nullstelle x1 bis zur zweiten x2 über 0 und sind somit die Lösungen.
Ausgeschrieben wäre das dann: L = {[1-√(1 - a); 1+√(1 - a)], a ≤ 1}
Ich hoffe, mein Ergebnis ist richtig und ich habe keine Fehler gemacht 😅
Dankeschön! Das ist eigentlich nur eine Übung für mich :) Die Aufgaben sind aus dem letzten Jahr (Aufgabennummer: 601223)