Ist 1/x surjektiv?
Hallo,
ich wollte nur wissen ob bei der Aufgabe 1/x surjektiv ist, da wir ja nur einen Y Wert haben, aber Surjektivität heißt mindestens ein y-Wert:
Injektivität habe ich schon.
3 Antworten
Es ergibt sich aus der Definition von "Funktion", dass jedem X-Wert der Definitionsmenge genau ein Y-Wert aus der Zielmenge zugeordnet wird. Daher wäre es ohnehin Quatsch zu sagen, dass jedem X-Wert mindestens ein Y-Wert zugeordnet wird, weil sich das "mindestens" per Definition auf "genau ein" reduzieren lässt.
Surjektivität bedeutet, dass jeder mögliche Wert aus der Zielmenge mindestens einmal angenommen wird!
Beispiel: f: R -> R, x = 1
Diese Funktion ordnet jedem X-Wert genau einen Wert zu - wäre das anders, wäre es keine Funktion. Aber die Funktion ist nicht surjektiv, denn nicht jeder Wert aus R wird als Funktionswert angenommen.
Ok aber jetzt in unserem Beispiel ist es dann Surjektiv, richtig?
Nein. denn die 0 gehört zwar zur Wertemenge, ist aber kein Funktionswert.
Der zweite Teil der Aufgabe zielt ja darauf ab, dass die Funktion nur dann eine Umkehrfunktion hat, wenn man die Quell- und Zielmengen geeignet einschränkt. f(x) hat ja auch eine Definitionslücke für 0, auch wenn die 0 Teil der Quell-Menge ist.
Ich bin jetzt verwirrt, ist es nun surjektiv oder nicht? :D
Daraus, wie die Aufgabe formuliert ist, ist klar, dass Ihr einen ähnlichen Fall in der Vorlesung mal behandelt haben müsst, wo eine Umkehrfunktion gebildet werden konnte, obwohl die Surjektivität eigentlich nicht vorlag.
Der Wert 0 ist doch gar nicht in der Wertemenge (0,unendlich)
Ok so und jetzt muss ich die Funktionsvorschrift bestimmen, aber man hat ja keine zwei Punkte, die Vorgegeben sind. Wie mache bestimme ich das jetzt?
Hallo,
surjektiv bedeutet, daß jedes Element der Zielmenge als Funktionswert vorkommt, daß also jedem y Element {0... unendlich} mindestens ein x Element {0... unendlich} zugeordnet werden kann, so daß gilt: y=1/x.
Das ist hier aber nicht der Fall. Versuch mal die Gleichung 1/x=0 nach x aufzulösen.
Herzliche Grüße,
Willy
Allerdings könnte man darüber streiten, ob nicht doch 1/unendlich gleich Null gilt. In diesem Fall wäre die Funktion doch surjektiv, denn unendlich darf ja für x eingesetzt werden. Allerdings ist unendlich keine definierte Zahl.
Sei y ein Element aus der Wertemenge der Funktion.
Dann: y = f(x) = 1/x <=> x = 1/y
Man kann also für jedes y ein x berechnen, welches in f eingesetzt y ergibt.
Daher ist die Funktion surjektiv.
Obwohl... Unendlich gehört auch zur Definitionsmenge und 1/unendlich geht gegen Null. Hier könnte man sich streiten, denn gegen Null bedeutet nicht, daß die Null getroffen wird, sondern nur unendlich nah angenähert. Andererseits ist unendlich keine definierte Zahl. Läßt man also den Grenzwert von 1/x für x gleich unendlich und nicht x gegen unendlich als gleich Null gelten, dann ist die Funktion doch surjektiv.
Um y = 0 braucht man sich nicht zu sorgen, weil wir hier in (0,unendlich) arbeiten. Sehe ich ein anderes Bild als du & Willy oder verstehe ich gerade was falsch?
Vielleicht verstehe ich da was falsch - bezeichnest Du mit (...) ein offenes Intervall, so dass die 0 nicht inklusive ist?
Ja klar. Wäre die 0 drin, dann wäre da ja eine eckige Klammer. Zumindest bei der geläufigen Intervallschreibweise.
Ich kenne die Schreibweise mit umgekehrten Klammern, also [0;1] für das geschlossene Intervall und ]0;1[ für das an der jeweiligen Seite offene Intervall. Aber dann ist die 0 natürlich nicht drin und die Surjektivität wäre gegeben.
Es gibt beide Varianten, d.h. ]0,1[ ist das Gleiche/Selbe wie (0,1)
Es ist üblicher, dass man runde Klammern für offene Intervalle nutzt.
Dann hatte ich damals wohl eher altmodische Profs :-D Aber gut, dann ist genau das der Grund für das Missverständnis. Hätte ich auch sehen können, denn die Seite mit "unendlich" ist normalerweise niemals geschlossen...
So und wie bestimme ich jetzt die Funktionsvorschrift? Wir haben ja (0, unendlich) aber was muss ich jetzt machen?
Aber in dem Fall haben wir ja kein R. Zumindest steht es nicht in der Aufgabe