Injektivität, surjektivität, bijektivität?
Kann mir jemand diesen Beweis erklären?
schon im ersten Satz bin ich irritiert, denn es wird gesagt dass (i) impliziert (ii) und das „nicht surjektiv“ impliziert „ nicht Injektiv“ hä?
nicht surjektiv bedeutet doch, dass es ein y gibt, das keinen x hat. Und wenn es ein y gibt, das keinen x hat, dann ist es injektiv und nicht nicht-injektiv.
kann mir das bitter jemand anhand eines einfachen Beispiels erklären? Irgendwie verstehe ich gar nicht was da unten steht:(
3 Antworten
Dieser Satz gilt für endliche Mengen mit gleich vielen Elementen.
Beispiel: Angenommen ich habe die Menge aller Schüler {Anna, Bob, Charlie, Diana, Evelynn, Frank} habe und die Menge aller möglichen Noten {1,2,3,4,5,6}. Das sind zwei endliche Mengen mit gleich vielen Elementen (beide Mengen haben 6 Elemente).
Nun betrachte ich als Abbildung f eben jene Abbildung, die jedem Schüler seine Note bei der letzten Mathearbeit zuordnet.
Wenn die Abbildung f nicht surjektiv ist, dann wurde nicht jede Note angenommen. Zum Beispiel könnte es sein, dass es keine 6 gegeben hat.
Dann muss f aber die 6 Schüler irgendwie auf die 5 übrigen Noten aufteilen. Das Schubfachprinzip sagt jetzt, dass dann mindestens eine Note doppelt vorgekommen ist, was bedeutet, dass f nicht injektiv ist.
Es ist hier wirklich wichtig, dass die Mengen gleich viele Elemente haben. Gäbe es noch die Note 7, so wäre der Beweis natürlich ungültig, weil ich durchaus 6 Schüler in 7 Noten abbilden kann, ohne dabei jede Note mindestens einmal zu treffen.
Daraus folgt doch, dass inketiv impliziert surjektiv und umgekehrt auch?
Bei Abbildungen zwischen endlichen Mengen, ja. Bei Funktionen, die du womöglich aus der Schule kennst (die von IR nach IR abbilden), aber nicht. Es kommt immer auf Definitions- und Zielmenge an. Allein die Funktionsvorschrift genügt noch nicht, um eine Aussage über Injektivität oder Surjektivität zu machen.
Genauso hängt deine Frage zu f(x) = 3 von Definitions- und Zielmenge von f ab:
- f: {1,2} -> {3}, f(x) = 3 ist surjektiv (aber nicht injektiv).
- f: {1} -> {3}, f(x) = 3 ist sogar bijektiv.
- f: {1} -> {2,3}, f(x) = 3 ist injektiv (aber nicht surjektiv).
- f: {1,2} -> {3,4}, f(x) = 3 ist weder surjektiv, noch injektiv.
(Genauso sind natürlich weniger konstruierte Fälle wie die konstante Gerade
- f: IR -> IR, f(x) = 3 weder injektiv, noch surjektiv und
- f: IR -> {3}, f(x) = 3 surjektiv, aber nicht injektiv
wie man sich ähnlich überlegt.)
Ganz wichtig: Die beiden Mengen haben gleich viele Elemente.
Und dann folgt aus injektiv surjektiv und daraus bijektiv.
Das ist einfach Aussagenlogik:
Also in dem Fall ist injektiv impliziert surjektiv "das Selbe" (besser gesagt äquivalent zu) wie nicht surjektiv impliziert nicht injektiv.
nicht surjektiv bedeutet doch, dass es ein y gibt, das keinen x hat. Und wenn es ein y gibt, das keinen x hat, dann ist injektiv und nicht nicht-injektiv.
Du meinst vermutlich es gibt ein y in Y, sodass es kein x in X gibt mit f(x)=y. Das heißt aber nicht automatisch, dass f injektiv ist. Siehe:
f:{1,2}→{1,2} f(1)=1, f(2)=1
Surjektiv heißt doch, dass jedes y aus Y mindestens ein Urbild hat. Dein Beispiel ist eine also eine surjektive Abbildung, denn f(1)=1, f(2)=1.
Meine Frage war aber, wie kann nicht-surjektiv nicht-injektiv implizieren?
Nein meine Abbildung ist nichr surjektiv, oder findest du etwa ein Urbild von 2? Nicht surjektiv impliziert nicht injektiv auch nur, falls die Mengen gleichmächtig (und endlich) sind. Begründet wird das im Beweis mit dem Schubfachprinzip. Stell dir dazu einfach man eine Schrank mit n Schubladen vor (Menge Y) und n Socken (Menge X). Falls eine Schublade im Bild liegt, legst du einen Socken rein. Da das Bild nicht Y ist, gibt es also mindestens eine Schublade, die nicht belegt wird. Du musst aber alle n Socken auf die n Schubladen verteilen (sonst ist f keine Funktion). Daher wird es notwendigerweise eine Lade mit mindestens 2 Socken geben. Damit ist f aber nicht injektiv.
Hey danke für die Antwort. Also ich habe mir das eben gezeichnet und es sieht tatsächlich so aus, dass nicht-surjektiv nicht-injektiv impliziert. Und nicht-injektiv- impliziert nicht-surjektiv. Also heißt es, dass immer, wenn eine Abbildung nicht-injektiv ist, dass sie dann automatisch nicht-surjektiv ist und umgekehrt auch?
Daraus folgt doch, dass inketiv impliziert surjektiv und umgekehrt auch?
Ich habe auch verusucht die Menge der Schüler um 1 zu erweitern. Das hat dazu geführt , dass eine Note mindestens 1 mal angenommen wurde. Aber das darf man ja nicht machen, oder? weil es dann keine Wohldefinierte Abbildung wäre?
Jetzt etwas anderes: Eine Abbildung, ist doch ein anderes Wort für Funktion. Wenn man annimmt, dass injektiv impliziert surjektiv, dann würde es doch bedeuten, dass surjektiv impliziert injektiv? Warum ich das frage: Wenn ich eine Funktion f(x)=3 betrachte. Dann wäre es doch eine surjektive Funktion/Abbildung. Und wenn sie surjektiv ist, dann müsste sie doch auch injektiv sein. Aber das ist sie doch nicht?!
Irgendwo habe ich einen Denkfehler:(