Gemeinsamkeiten Hyperbeln und Parabeln?
Was sind die Gemeinsamkeiten von Hyperbeln und Parabeln?
3 Antworten
Ein paar Anmerkungen:
Es handelt sich um Kegelschnitte, deren unterschiedliche Kurven (Ellipse, Hyperbel, Parabel) durch Veränderung der Parameter einer allgemeinen Kurvengleichung beschrieben werden können. Die parallele Lage zur x-Achse erhält man durch Transformation (Drehung der Kegelschnittachsen).
Die Verwandtschaft der Kegelschnitte wird besonders in den Scheitelgleichungen deutlich:
gemeinsame Scheitelgleichung:
y² = 2 * p * x + (ε² - 1) * x²
mit den Parametern ε (numerische Exzentrizität) und p, die mit den Brennpunkten zu tun haben
1) ε = 1 (Parabel)
y² = 2 * p * x
2) ε² - 1 = p / a (Hyperbel)
y² = 2 * p * x + (p / a) * x²
3) 1 - ε² = p / a (Ellipse)
y² = 2 * p * x - (p / a) * x²
Folgende Darstellung stammt aus meinem Astronomiekonzept.
Das Konzept kann unter
https://www.dropbox.com/sh/x56zbd1s9h9s199/AACTraaBO6hPukv2PMkjFB-_a?dl=0
eingesehen und heruntergeladen werden.
x²/a² - y²/b² = 1 beschreibt eine Hyperbel, deren Symmetrieachsen die x- und y-Achse des Koorninatensystems sind, also nicht jede Hyperbel und erst recht nicht die Hyperbel y = 1/x.
Um auf y = 1/x zu kommen, setzen wir erstmal b = a
x² - y² = a²
Dann drehen wir um 45°
x := x + y und y := x - y
(da kommen als Faktoren eigentlich sin(45°) bzw. cos(45°) hinzu, die lasse ich hier weg, weil man a entsprechend anpassen kann)
(x + y)² - (x - y)² = a²
4xy = a²
y = a²/(4x)
mit a = 2 wird daraus
y = 1/x
Kegelschnitte
.
es existiert eine Symmetrieachse
.
Hinweis: die allgemeine Form der Kegelschnitt steht als letzte Zeile in dem Auschnitt aus meinem Konzept.
Hyperbel ist mir nie so richtig klar geworden :
f(x) = 1/x ist eine , aber es ist x²/a² - y²/b² = 1 . . jede Parabel , sagt wiki, sei so beschreibbar . Wie von diesem zu 1/x gelangen ?