f(x)= e^x wieso injektiv und nicht surjektiv?
wie kann ich mir einfacher merken was surjektiv, injektiv und bijektiv ist anhand von graphen und rechnerisch
5 Antworten
Ob eine Funktion injektiv oder surjektiv oder beides bzw bijektiv ist hängt vom Definitionsbereich und der Bildmenge ab:
Die Funktion x² kann surjektiv, injektiv oder bijektiv sein je nachdem welche Definitionsbereich und Bildbereich man nimmt.
R->R x² ist weder injektiv noch surjektiv
R->R+ x² ist surjektiv aber nicht injektiv
R+->R+ x² ist bijektiv
Daher lässt sich nur für letztere Funktion eine Umkehrfunktion finden welche man als Quadratwurzel bezeichnet.
Sobald man das im Kopf hat sieht man einfach, dass das die Quadratwurzel nur auf R+ definiert ist und auch nur Werte auf R+ liefert. Also jedes Ergebnis der Quadratwurzel ist positiv.
Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge auch wirklich erreicht wird.
Du hast
Werden alle Elemente von R auch erreicht?
Es geht darum, wie oft jedes Element der Zielmenge als Funktionswert angenommen wird. Injektiv: höchstens einmal, surjektiv: mindestens einmal, bijektiv: genau einmal. Ich merke es mir so: „Wird jedes Element angenommen? Sure! → surjektiv“. Gute Grafiken gibt es in der Wikipedia: Injektive Funktion und Surjektive Funktion.
Für dein Beispiel müsste man noch die Zielmenge festlegen. Für f: ℝ → ℝ gilt: Bei e^x gibt es reelle Zahlen, die nicht als Funktionswert vorkommen (welche?). Damit kann f nicht surjektiv sein. f ist aber streng monoton steigend und damit injektiv, weil kein Wert mehrfach angenommen wird.
Ob die von dir genannte Abbildung surjektiv ist - oder nicht - kann man so nicht sagen. Dafür müssten wir schon den Wertebereich kennen.
Surjektivität kann man grundsätzlich nie anhand von Graphen erkennen. Es gibt beispielsweise Funktionen, die aussehen, als wäre sie surjektiv, aber irgendwo doch ein Element des Wertebereichs auslassen.
Auch Injektivität kann man anhand von Graphen nicht erkennen. Man kann es allerdings erkennen, wenn eine Abbildung nicht injektiv ist. In dem Fall haben zwei x-Werte denselben y-Wert. Es gibt also zwei Punkte auf derselben Höhe.
Wäre surjektiv wenn Zielmenge R+ wäre . Bei R+mit 0 und R stimmt das nicht.
Guck mal unter der x-Achse nach :))