Bruchgleichung?
Da ich bald meine Prüfungen schreibe und dieses Thema in dem Schwierigkeitsgrad noch nicht mit meinen Lehrer durchgenommen habe, würde ich mich sehr freuen, wenn jemand Lust und Zeit hätte, mir diese Aufgabe so einfach und detailliert wie es euch möglich ist, zu erklären und zu lösen. Ich bedanke mich vielmals im Vorraus!
1 Antwort
Hallo,
gemeinsamen Nenner bestimmen, der ist hier x²+4x, also x*(x+4).
Die Zähler mit dem Faktor des gemeinsamen Nenners multiplizieren, der ihren eigenen Nennern noch fehlt. Wenn alle Terme den gleichen Nenner haben, kann man eine Gleichung aufstellen, die nur noch aus den Zählern besteht. Dabei auf Definitionslücken achten. Eine Lösung für x, bei der einer der Nenner gleich Null würde, ist ungültig.
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen herzlichen Dank. Aber könntest du mir noch erklären, warum auf der rechten Seite im Nenner das eine (x hoch 2 + 4x) wegfällt? Und wie kürzt man die Nenner dann, sodass man nur noch die Zähler/ keine Brüche mehr hat? Bin in dem Thema ein ziemlicher Anfänger…
Da fällt gar nichts weg.
Du hast drei Nenner: 4+x, x²+4x und x und Du mußt den Hauptnenner dazu finden.
Wenn Du x²+4x nach dem Distributivgesetz zu x*(4+x) umschreibst, siehst Du, daß dieser Nenner der Hauptnenner ist.
Du mußt also den ersten Bruch x/(x+4) noch mit x erweitern, denn das x+4 des Hauptnenners besitzt er ja schon selbst. Den zweiten Bruch brauchst Du überhaupt nicht zu erweitern, denn der hat ja schon den Hauptnenner. Der dritte Bruch hat bereits das x im Nenner, er muß also noch mit (4+x) erweitert werden.
Ja und somit hat man dann doch 2 Mal x*(4+x), oder nicht?…. Meine Frage ist, wie danach vorgeht, sodass wie bei deiner Gleichung rechts im Nenner nur noch ein Mal x*(4+x) steht und am Ende gar keine Nenner mehr da stehen.
Das geht so nicht. Du erweiterst x/(x+4) mit x und bekommst x²/[x*(x+4)].
den nächsten Bruch kannst Du lassen, wie er ist, er hat schon den Hauptnenner.
Aus dem letzte Bruch wird nach Erweiterung mit (x+4) der Bruch (x+4)/[x*(x+4)].
Nun hast Du die Gleichung x²/(x²+4x)+(3x+28)/(x²+4x)=(x+4)/(x²+4x).
Verboten sind x=0 und x=-4, weil sich hier ein nichtdefinierter Bruch mit einer 0 im Nenner ergeben würde.
Nachdem das klar ist, kannst Du die ganze Gleichung mit x²+4x multiplizieren.
Da der Nenner aller Brüche auch x²+4x ist, kürzt sich das alles weg und es bleiben nur noch die Zähler übrig:
x²=3x+28+x+4.
Du bringst alles nach links, so daß rechts nur noch eine 0 stehen bleibt:
x²-3x-28-x-4=0.
Nun noch -3x-x zu -4x zusammenfassen und -28-4 zu -32:
x²-4x-32=0.
Das kannst Du entweder mit der pq-Formel lösen oder nach dem Satz von Vieta zu (x+4)*(x-8)=0 umformen. Hier sind die Nullstellen direkt abzulesen, nämlich
x=-4 (verboten wegen der Nullstelle des Nenners) und x=8 (die geht in Ordnung.
Mit anderen Worten: Wenn man die ganze Gleichung mit x²+4x (dem Hauptnenner) multipliziert, ist man die Brüche los.
Im konkreten Fall würde die Gleichung lauten: x²/x²+4x=(3x+28+x+4)/(x²+4x).
Betrachtet man nur die Zähler, gibt es zwei Lösungen: x=-4 und x=8.
Die Lösung x=-4 ist aber ungültig, weil hier eine Nullstelle des Nenners liegen würde. Einzige Lösung daher x=8.