Beweis f(x+y)=f(x)+f(y)?
Wie beweist man das mit vollständiger Induktion?
bzw. f(x1+x2+...+xn)=f(x1)+f(x2)+...f(xn)
6 Antworten
Das kann man gar nicht zeigen, weil es für allgemein Funktionen f schlicht falsch ist. Beispiel: f(x) = 1. Dann ist f(x1 + x2) = 1, aber f(x1) + f(x2) = 2, was offenbar ein Widerspruch ist.
Schau vielleicht nochmal in die Aufgabenstellung und gib die hier korrekt wieder, dann müssen wir nicht raten, was eigentlich zu zeigen ist.
IA) f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) nach Voraussetzung
IV) Die Aussage gelte für <n
IS) n -> n+1
f(x_1 + x_2 + ... + x_n) = f((x_1 + x_2 + ...+ x_(n-1) ) + x_n) = f(x_1 + ... x_(n-1)) + f(x_n) = f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_n) nach IV)
Überhaupt nicht, es sei denn, f ist linear.
...wobei, das ist tatsächlich nur ein Kriterium für Linearität. Mathematisch streng genommen lässt sich bestimmt ein f finden, dass die Gleichung erfüllt aber nicht linear ist.
So allgemein beweist man das gar nicht, denn etwa die reelle Funktion f(x) = x² erfüllt diese Gleichung nicht immer - sonst müssten wir Schüler ja nicht mit der binomischen Formel quälen.
das gilt nicht allgemein. Gegenbeispiel: f(x) = x^2
x1 = 1
X2 = 2
f(x1 + x2) = 9
f(x1) + f(x2) = 5
ich meinte f(x1+x2+...+xn)=f(x1)+...+f(xn)
sorry)