Kurvenschar definitionslücke?
fa(x)= a/x + x^2/a^2
Was ist der definitionsbereich und wie untersucht man das Verhalten an der definitionslücke
3 Antworten
Man darf für x alle reelen Zahlen außer 0 einsetzen, somit ist der Definitionsbereich alle reelen Zahlen außer Null. a darf außerdem auch nicht Null sein, darf aber ansonst auch eine beliebige reele Zahl sein.
für x -> 0 x < 0 f(x) -> - ∞
für x -> 0 x > 0 f(x)= -> ∞
Grafik wurde erstellt mit: https://www.geogebra.org/graphing?lang=de
Wenn x = 0 oder a = 0 ist, dann würde man mit 0 dividieren, was nicht definiert ist. Also kann 0 nicht im Definitionsbereich liegen, also D = ℝ\{0}. Allerdings darf der Parameter auch nicht null sein - das hat aber erstmal nichts mit dem Definitionsbereich zu tun, da ein Parameter keine Varaible ist (salopp also nicht von einer Koordinatenachse abhängt).
Das Verhalten der Definitionslücke kannst du mit dem Grenzverhalten zeigen. Wenn x von rechts gegen null geht, erhälst du
x —> 0⁺ => f(x) —> sgn(a) • ∞
x —> 0⁻ => f(x) —> –sgn(a) • ∞
mit sgn(a) = "Vorzeichen von a" (Signumfunktion). Wenn also a>0, ist
x —> 0⁺ => f(x) —> +∞
x —> 0⁻ => f(x) —> –∞
(siehe Beispiel-Graph in der Antwort von Kohlmeise292) und wenn a<0, ist
x —> 0⁺ => f(x) —> –∞
x —> 0⁻ => f(x) —> +∞.
Definitionsbereich beschreibt die Werte, für die die Funktion definiert ist (d.h. alle Zahlen die du einsetzten kannst und dann nicht durch 0 teilen musst oder eine negative Wurzel hast).
Das Verhalten an der Definitionslücke kannst du durch eine Grenzwertbetrachtung (lim(f)) von links und rechts zur Lücke hin untersuchen.