Die angegebene Funktion ist für x = -Wurzel(n) nicht definiert, ebenso wenig wie ihre Ableitungen. Da man sie um den Punkt 0 entwickeln möchte, muss also x > -Wurzel(n) sein. Wenn man sich auf ein symmetrisches Intervall um die Null beschränkt, heisst das |x| < Wurzel(n) oder n > x^2.
Es geht hier um die bedingte Wahrscheinlichkeit
P( U1 | "gelb oder blau" ) = P( U1 und "gelb oder blau" ) / P( "gelb oder blau" )
P( U1 und "gelb oder blau" ) = 1/2 * 2/6 = 1/6
P( "gelb oder blau" ) = 1/2 * 2/6 + 1/2 * 1/2 = 5 / 12
Der gesuchte Wert ist damit 2 / 5.
Das ist der formal korrekte Ansatz, jeanyfan hat die dabei zugrundeliegende Idee erklärt.
"Es irrt der Mensch solang er strebt."
Gilt auch für Mathematiker.
Wenn beide f und g das Hauptideal erzeugen, dann muss gelten
f = x * g und g = y * f,
woraus f = x * y * f,
Und damit x * y = 1.
Die Dreiecksungleichung sollte schon erfüllt sein, a + b >= c, sonst gibt es kein Dreieck.
Die Verteilung des Minimums ist exponential mit 2λ.
Die Wahrscheinlichkeit, dass es am Schalter mit 2 Leuten länger dauert als am anderen ist dann
Integral von t = 0 bis unendlich von 2λ exp(-2λ t) exp(-λ t),
das gibt -2/3 exp(-3λ t) in den genannten Grenzen, also 2/3.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit 1/3.
Bei der (a) kann man mit dem Pythagoras argumentieren,
x^2 + y^2 + z^2 = 25
Bei der (b) kann man eine Ebenengleichung hinschreiben, die alle 4 Punkte erfüllen:
x + y + z = 7
Für x, y und z kann man alle Permutationen der Werte 0, 3 und 4 einsetzen.
Faszinierend.
Du hast richtig angefangen, nur ein Vorzeichen vergessen.
Stammfunktion von ln(x) ist x ln(x) - 1, wobei du 1-y statt x nehmen muss, auch hier Achtung wegen des Vorzeichens.
In der Wikipedia geht man in den beiden horizontalen Ebenen auch jeweils gegen den Uhrzeigersinn, wobei A in der oberen Ebene liegt:
https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie)#Schnittfl%C3%A4chen_des_W%C3%BCrfels
Da bei dir das A schon gegeben ist, scheint mir deine Bezeichnung passend.
Du setzt an
10 v / (K + 10) = 168, und
40 v / (K + 40) = 420,
das gibt K = 40, v = 840
Liegst also richtig.
Du setzt an
10 v / (K + 10) = 168, und
40 v / (K + 40) = 420,
das gibt K = 40, v = 840
Liegst also richtig.
1/(2+x²) - arctan(x) an der Stelle 0: 1/2
d/dx(...) = -(2 x)/(2 + x^2)^2 - 1/(x^2 + 1), an der Stelle 0: -1
d²/dx²(...) = (8 x^2)/(2 + x^2)^3 + (2 x)/(x^2 + 1)^2 - 2/(2 + x^2)^2, an der Stelle 0: -1/2
Das führt zum Taylor Polynom T2
1/2 - x - x^2/4
Für das Lagrange-Restglied eine weitere Ableitung
d^3/dx^3(...) = -(8 x^2)/(x^2 + 1)^3 + (24 x)/(2 + x^2)^3 + 2/(x^2 + 1)^2 - (48 x^3)/(2 + x^2)^4
Das kann man ganz grob nach oben abschätzen, indem man in den Nennern immer x=0 setzt,
-(8 x^2)/(1)^3 + (24 x)/(2)^3 + 2/(1)^2 - (48 x^3)/(2)^4,
und dann auf [-1,1]:
| -(8 x^2)/(1)^3 + (24 x)/(2)^3 + 2/(1)^2 - (48 x^3)/(2)^4 | <= 8 + 24/8 + 2 + 48 / 16 = 16,
d.h. man kann C = 16 nehmen.
Die Auswertung an den Stellen -1, 0 und 1 überlasse ich dir.
Ich weiss nicht, ob ich das richtig verstehe, sezieren wir mal...
Ein neues Streaming-Portal ermittelt einen Anteil a unter den Jugendlichen.
a ist also der Anteil der Portal-Nutzer?
Bei einer späteren zweiten Umfrage hat sich der Anteil unter denjenigen, die bei der ersten Umfrage dieses Portal nicht benutzten, gegenüber dem Anteil bei der ersten Befragung verdoppelt.
Der Anteil der Portal-Nutzer unter den Portal-Nicht-Nutzern hat sich verdoppelt? Zwei mal Null gibt Null.
Insgesamt liegt der Anteil der teilnehmenden Jugendlichen am neuen Streaming-Portal nach der 2. Umfrage bei 72%. Berechnen Sie a.
72% = a + 2 * 0 = a
Hast du die Aufgabe wörtlich zitiert?
Geht wohl schon so, allerdings würde ich auf einen indirekten Beweis verzichten, wenn es auch direkt geht, etwa so:
y_n gehe gegen y
Die Folge der Urbilder muss nach Voraussetzung eine konvergente Teilfolge y_(n_k) haben, die in X etwa gegen x0 konvergiert.
Wegen der Stetigkeit und Bijektivität geht dann die Folge y_(n_k) = f(f^(-1)(y_(n_k)) gegen f(x0).
Dann muss gelten f(x0) = y.
Also ist x0 = f^(-1)(y), was wir zeigen wollen.
Wenn sich das alles in einem allgemeinen metrischen Raum abspielt wäre noch zu prüfen, ob die Begrifflichkeiten so verwendbar sind, bin mir da nicht 100% sicher.
Setze
c_n = b_(n/2), wenn n gerade, sonst 0
Dann hast du die zweite Potenzreihe in der gleichen Form wie die erste mit c_n und Exponent n.
Und dann kannst du a_n und c_n addieren.
Hier muss man aufpassen, ob zweimal eine bestimmte Person (mit "Zurücklegen"I) gezogen wird, oder zweimal die gleiche, es geht hier wohl um letzteres.
Wie du schon (fast) geschrieben hast, der Ereignisraum wäre:
{ (w1,w2) | wi Element von {1,……1500}}
|omega|=1500^2
Dein Ereignis A mit { (w1,w2) | wi =wj}, also |A| =1500
Die Wahrscheinlichkeit ist 1/1500.
Das Innere ist leer, da man um keinen Punkt von M eine offene Kreisscheibe legen könnte, die ganz in M liegt.
Zum Rand von M gehört M selbst, da zu jedem Punkt (x, cos(1/x)) und jeder Umgebung dieses Punkte weitere Punkte von M liegen, man nimmt einfach
(x+epsilon, cos(1/(x+epsilon)))
für geeignetes epsilon.
Der Punkt (1/pi,-1) ist genauso begründbar.
Für jeden Punkt auf {(0,y) | -1<=y<=1} und jede zugehörige Umgebung kann man einen Punkt aus M finden, der in dieser Umgebung liegt. Dazu konstruiert man den Punkt
(epsilon, cos(1/epsilon))
so, dass cos(1/epsilon) = y und epsilon klein genug ist.
War in der Vorlesung nicht die folgende Formel dran?
https://de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)#Primzahlexponenten
[n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + .....
[...] ist die Gauss-Klammer, d.h. es wird auf die nächste ganze Zahl abgerundet.
Das kann man nun für alle n von 1 bis p^a summieren.
Dazu summiert man "spaltenweise", d.h. man berechnet für k = 1 bis a die Summen
Summe über [n/p^k] von n = 1 bis p^a
Etwa für k = 1:
Summe über [n/p] von n = 1 bis p^a
Diese Summe zerlegt man in Abschnitte der "Länge" p, in denen [n/p] den gleichen Wert hat, also etwa n = jp bis (j+1)p -1, dann ist [n/p] = j. Am Ende steht n = p^a als Abschnitt der Länge 1 alleine da.
Also ergibt sich die Summe 1p + 2p + .... + (p^(a -1)-1)p + p^(a-1)
= p (1 + 2 + .... + (p^(a -1)-1) ) + p^(a-1)
= p (p^(a -1)-1) p^(a -1) / 2 + p^(a-1)
= (p^(a -1)-1) p^a / 2 + p^(a-1)
Für k = 2:
1p^2 + 2p^2 + .... + (p^(a -2)-1)p + p^(a-2)
= p^2 (p^(a -2)-1) p^(a -2) / 2 + p^(a-2)
= (p^(a -2)-1) p^a / 2 + p^(a-2)
Jetzt kann man diese noch zusammenfassen über k= 1 bis a
Summe über (p^(a -k)-1) p^a / 2 + p^(a-k) von k= 1 bis a,
das überlasse ich dir, das sind einfache geometrische Summen :-)
In der vierten Zeile rechts zähle ich 24 n^2, nicht 20 n^3.
Noch eine andere Sache, warum ist dies wichtig?
Var(X) = E(X ^2 ) − E(X)^2
Das ist der "Verschiebungssatz". Er ist oft hilfreich, um die Varianz einfacher als über die Definition zu berechnen.