Teilbarkeit von Fakultaeten?
Hallo, ich habe folgendes Problem. Sei p eine Primzahl und a eine natuerliche Zahl. Wie oft ist nun 1!*2!*...*(p^a)! durch p teilbar
1 Antwort
War in der Vorlesung nicht die folgende Formel dran?
https://de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)#Primzahlexponenten
[n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + .....
[...] ist die Gauss-Klammer, d.h. es wird auf die nächste ganze Zahl abgerundet.
Das kann man nun für alle n von 1 bis p^a summieren.
Dazu summiert man "spaltenweise", d.h. man berechnet für k = 1 bis a die Summen
Summe über [n/p^k] von n = 1 bis p^a
Etwa für k = 1:
Summe über [n/p] von n = 1 bis p^a
Diese Summe zerlegt man in Abschnitte der "Länge" p, in denen [n/p] den gleichen Wert hat, also etwa n = jp bis (j+1)p -1, dann ist [n/p] = j. Am Ende steht n = p^a als Abschnitt der Länge 1 alleine da.
Also ergibt sich die Summe 1p + 2p + .... + (p^(a -1)-1)p + p^(a-1)
= p (1 + 2 + .... + (p^(a -1)-1) ) + p^(a-1)
= p (p^(a -1)-1) p^(a -1) / 2 + p^(a-1)
= (p^(a -1)-1) p^a / 2 + p^(a-1)
Für k = 2:
1p^2 + 2p^2 + .... + (p^(a -2)-1)p + p^(a-2)
= p^2 (p^(a -2)-1) p^(a -2) / 2 + p^(a-2)
= (p^(a -2)-1) p^a / 2 + p^(a-2)
Jetzt kann man diese noch zusammenfassen über k= 1 bis a
Summe über (p^(a -k)-1) p^a / 2 + p^(a-k) von k= 1 bis a,
das überlasse ich dir, das sind einfache geometrische Summen :-)