Annahme: 2 Kästen = 1 Längeneinheit

Da ist ein bisschen Kreativität gefragt.

a) Hat offenbar eine Polstelle bei 1,5. Ist immer positiv, also mit Betrag, und ist um 1 nach oben verschoben, also

f(x) = 1/|(x - 1,5)| + 1

Durch -1,5 wird die Polstelle um 1,5 nach rechts verschoben.

b) Diese Form lässt auf einen ungeraden Exponenten schließen, keine Verschiebung zur Seite oder nach oben/unten, aber links positiv und rechts negativ, also:

f(x) = -(x^3)

c) Umgedrehte Parabel, also mit Minus, gestreckt um 2, da f(1)=-2 (ohne Verschiebung), dann noch um 1,5 nach unten verschoben, also

f(x) = -2x^2 - 1,5

d) Sieht aus wie 1/x ist aber um 1,5 nach oben verschoben... die Werte sind aber kleiner, also vllt.

f(x) = 1/4x + 1,5

allgemein: die Grundformen der Funktionen musst du kennen, dann gucken, wie die Funktion zur Seite oder nach oben oder unten verschoben und auch gestreckt oder gestaucht ist...

Um die p,q-Formel anwenden zu können, muss die Gleichung zunächst in die Normalform gebracht werden. Dazu muss auf der rechten Seite der Gleichung Null stehen und der Faktor vor dem x^2 muss 1 sein. Da er hier 0.5 ist, wird die Gleichung mit 2 multipliziert um dies zu erreichen.

Induktionsschritt:

(1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x)

>= (Induktionsvoraussetzung)

(1+n*x)*(1+x) = 1+x+n*x+n*x*x >=

(da n*x*x >= 0 sein muss)

1+x+n*x = 1+(n+1)*x

Wenn man keine Klammer setzt, ist die Frage, was stärker bindet, z.B. geht ja Punktrechnung vor Strichrechnung. Potenzieren bindet stärker als das Minuszeichen, d.h.:

- 2^2 = -(2^2) = -4 und

(-2)^2 = 4

Ableiten ist Technik, Integrieren ist Kunst.

Eine gar nicht so leicht zu beantwortende Frage. Grundsätzlich ist ein gutes Verständnis der Formeln, die man anwenden möchte, sicher wünschenswert. Aber es gibt sicher auch verschiedene Ebenen des Verstehens. Wenn jemand das Volumen eines Kreises ausrechnen möchte und die Formel kennt und die Variablen richtig belegen kann, dann wird er zum Ziel kommen, auch ohne ein tieferes Verständnis, warum diese Formel richtig ist. Das Gleiche gilt für den Umfang. Und bestimmt möchte nicht jeder die Beweise für diese Formeln durcharbeiten, nur um sie anzuwenden. Wer Spaß an Mathematik hat interessiert sich für die tieferen Zusammenhänge... hier z.B., dass der Umfang die Ableitung des Volumens ist:

V = r^2 * pi

U = 2r * pi

Dies muss man aber nicht wissen, um die Formeln richtig anzuwenden...

Der aktuelle Stand der Forschung ist, dass man nicht weiß, ob das Universum endlich oder unendlich ist.

Ich glaube, dass es endlich ist, denn es ist vor ca. 13,8 Milliarden Jahren mit dem Urknall entstanden und dehnt sich seitdem aus. Es erscheint mir logisch, dass es sich in endlicher Zeit nur endlich ausdehnen kann und nicht auf unendliche Größe. Ich glaube, dass das Universum endlich, aber unbegrenzt ist - das dreidimensionale Analogon z.B. zu einer Luftballonoberfläche. Dazu müsste der Raum allerdings eine positive Krümmung aufweisen und aktuelle Messungen haben ergeben, dass das Universum flach zu sein scheint. Das würde für unendlich sprechen. Ich denke, die Krümmung ist einfach nur sehr klein, da das Universum so riesig ist.

c) 3/sqrt(x+8) = 1/sqrt(x) |^2

9/(x+8) = 1/x

(x+8)/9 = x

x/9 + 8/9 = x

-8/9x = -8/9

x = 1

f) 2*sqrt(x+3) + sqrt(4x+12) = 12 |^2

4*(x+3) + 4*sqrt(x+3)*sqrt(4x+12) + (4x+12) = 144

4x + 12 + 4*sqrt((x+3)*(4x+12)) + (4x+12) = 144

8x+24 + 4*sqrt(4x^2 + 24x + 36) = 144

8x+24 + 4*sqrt((2x + 6)^2) = 144

8x+24 + 4*(2x+6) = 144

16x + 48 = 144

16x = 96

x = 6

20x + 10(x+2) = 200

20x + 10x + 20 = 200

30x = 180

x = 6

Man bekommt 6 20-Euro Scheine und 8 10-Euro Scheine.

Da ist ja soweit schon richtig, jetzt noch umformen:

-4x^2 -4x +15 <0  |:(-4)

x^2 + x -3,75 < 0

Beispiel a)

1. cos(epsilon) = Ankatete / Hypothenuse = p / d d.h.

d = p / cos(epsilon)

2. Damit kannst du dann h berechnen:

h^2 = d^2 - p^2

h = sqr(d^2 - p^2)

3. Höhensatz:

h^2 = q * p

q = h^2 / p

So arbeitet man sich dann weiter...

Du brauchst:

- die Winkelgesetze im rechtwinkligen Dreieck

- Satz des Pythagoras

- Höhensatz

Vermutlich gibt es auf vielen anderen Planeten im Universum Leben. Ein Versuch, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen ist die Drake-Formel, das Problem ist nur, dass man viele Variablen in der Formel nicht kennt.

Es gibt aber eine Argumentation, die rein mathematisch ist und kein weiteres Wissen voraussetzt. Nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass auf einem Planeten, auf dem Leben entstehen könnte, es auch entsteht, 1/p ist. Weiter nehmen wir an, dass es q Planeten gibt, auf denen Leben entstehen könnte. Leben auf genau einem Planeten würde man nur erwarten, wenn p = q ist. Da diese beiden Werte offensichtlich nichts miteinander zu tun haben, wäre das sehr unwahrscheinlich. Sehr viel wahrscheinlicher wäre Leben auf ganz vielen Planeten (q>>p) oder gar kein Leben (q<<p). Da wir da sind, scheidet diese Möglichkeit jedoch aus, also ist die Wahrscheinlichkeit hoch, dass Leben sehr häufig ist.

Um gut in Mathe zu sein, ist ein wenig Talent sicher hilfreich. Aber es sind auch noch andere Dinge wichtig: Kreativität, Übung und die Fähigkeit, sich in etwas hineinzusteigern und nicht aufzugeben. Zum Lösung von mathematischen Aufgaben ist in der Regel zunächst etwas Kreativität gefragt, um z.b. eine Gleichung aufzustellen, da muss man auch spielerisch rangehen - auch Menschen, die gut in Mathe sind, sehen da nicht sofort den richtigen Ansatz. Der Rest ist dann meistens "Technik" und kann geübt werden.

Oft ist es auch der Fall, dass man etwas nicht versteht, weil man schon einige Schritte davor nicht alles verstanden hat. In der Mathematik baut alles aufeinander auf - wie bei einem Turm. In anderen Fächern liegt das Wissen eher "breiter" verteilt und es ist für ein "Gebiet" nicht so schlimm, wenn man ein anderes nicht richtig verstanden hat.

Bei Polynomfunktionen 2. Grades sind die Gleichungen zur Bestimmung der Nullstellen quadratische Gleichungen. Dafür gibt es zum Lösen z.B. die p,q-Formel. Allg. Lösungen gibt es auch für Gleichungen 3. und 4. Grades. Ab Funktionen 5. Grades gibt es keine allgemeinen analytischen Lösungsverfahren mehr - da muss man probieren oder Näherungsverfahren anwenden.

Bei Wendepunkten ist die Steigung lokal minimal oder maximal - lokal bedeutet dabei, in der Umgebung des Wendepunktes. Wenn man die global maximale bzw. minimale Steigung wissen möchte, muss man alle x-Werte in die erste Ableitung einsetzen und auswerten. In deinem Beispiel ist 100 eben ein Wendepunkt, dessen Steigung global weder maximal noch minimal ist, in seiner Umgebung ist die Steigung dennoch lokal maximal.

2x^2+4x+1=-1 | :2

Zunächst muss das x^2 alleine stehen, d.h. man muss durch 2 teilen.

Dann Konstanten auf die rechte Seite bringen:

x^2+2x+0,5=-0,5 | -0,5

x^2+2x=-1

Nun kommt die quadratische Ergänzung, dazu den Faktor vor dem x halbieren und quadrieren...diesen Wert addieren:

x^2+2x+1=0

Umformen (2. binomische Formel)

(x+1)^2=0

Wurzel ziehen (dabei im allgemeinen Betragsstriche nicht vergessen)

|x+1|=0 | -1

x=-1

Es gibt nur eine Lösung x=-1.

O,5 sind 5/10. Diesen Bruch kann man iterativ mit 10 erweitern und kommt zu 50/100 (0,50), 500/1000 (0,500) usw.

Bei 0,8888.. heisst es Null Komma Periode 8. Bei 0,87777... heisst es Null Komme 8 Periode 7. Bei 0,78787878... heisst es Null Komma Periode 7 8.

Die Chane auf das gute Ereignis ist 1:2. Allgemein gilt, bei x guten und y schlechten Ereignissen, ist die Chance auf das gute Ereignis x:y (sprich x zu y). Die Wahrscheinlichkeit für das gute Ereignis ist x / (x + y). Hier ist sie also 1/3.