Welches ist die längste bisher bekannte Collatz-Folge und wie lang ist sie?

Ebenso gibt es demnach auch keine obere Schranke für die Länge einer Collatz-Folge.......... nicht : q.e.d , sondern was bewiesen wurde (nur von wem ? )

Im Bild

x >>> Startzahl
y >>> Länge der Folge

..... aus wiki

Answer 1

[LORDderANALYSE]

Via brute forced

Das größte von den ich weiß, was durch brute force gefunden wurde, ist 3275. Das ist die Länge der Collatz-Folge von 999...999 (das sollen 100 mal einer 9 hintereinander).

Das so zu sagen ist aber langweilig...

In vergleich "7219136416377236271195" (eine wesentlich kleinere Zahl als die darüber) hat eine Folge mit 2969 Elementen, was erstaunlich groß ist für die "kleine" Zahl. (die Zahl wurde von Algorithmen entdeckt die alle sehr sehr viele (über 10^50) einfach Zahlen durch ge-brute-forced haben)

Via Zufall

Es geht aber noch wesentlich größer. (Quelle)

• Mario Palestini zeigte dass eine Beziehung zwischen den Nachkommastellen von transzendenten Zahlen und der Länge der Collatz-Folge existieren. Diese weisen in der Regel unfassbar lange Collatz-Folgen auf, auch wenn man recht kleine Zahlen nimmt. So entdeckte er, dass die ersten 100 Nachkommastellen von π als Startzahl eine Folge mit 2533 Elementen liefert.
• Marius Deutschman hat auch das für Nachkommazahlen von π untersucht und kam darauf, dass die Sequenz 2384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865 eine Collatz-Folge mit 3098 Elementen liefert.
• Mario Palestini liefert die Information, dass die ersten 285 Nachkommastellen der Eulerschen Zahl e eine Collatzfolge mit 7210 Elementen liefert, was sogar die 999...999 bei weiten übertrifft.
• Prof. Dr. Ingo Althöfer dachte sich aber: "Na! Zu klein! Lass uns einfach 1sen ausprobieren.". So kam er drauf, dass 997 Einsen hintereinander eine Collatz-Folge mit 25202 Elementen liefert.

Mit den Verfahren lassen sich auch immer größere Folgen finden.

Via Rekursion

Man kann aber auch einfach das Problem rekursiv rückwärts gehen. Und somit bei jeden Schritt ein weiteres Element in der Folge hinzufügen.

Z.B. hat "2^{n}" n Elemente in seiner Collatz-Folge (mit n als natürliche Zahl),
da alle 2^{n} immer ein natürliches Vielfache von 2 ist, alle natürlichen Vielfachen von 2 gerade sind und wir gemäß den Collatz-Problem bei geraden Zahlen ist die nachfolgende Zahl der Folge halb so groß, was aber bei 2^{n} aber 2^{n-1} ist und somit wieder bei der einer geraden Zahl ankommen.

Sagen wir jetzt:

$\lim_{n\to\infty}2^n,\ n\in\text{N}$

Sind es unendlich viele Zahlen in der Folge.
Mit der Hilfe der 2-adischen Zahlen können wir die Zahl sogar benennen und somit sagen, dass das erweiterte Collatz-Problem für diese 2-adische Zahl nur in unendlichen gilt, was ich selbst ziemlich cool finde.

Woher ich das weiß: Recherche

Answer 2

[ralphdieter]

keine obere Schranke für die Länge einer Collatz-Folge

Das ist trivial, denn die Collatzfolge von 2ⁿ hat die Länge n.

Und wenn Du eine Folge suchst, die n-mal ansteigt, starte bei 2ⁿ−1. Das führt zu 3ⁿ−1.