Konvergiert die Folge 2n+2 ebenfalls?
Das Collatz-Problem beschreibt eine funktionsalternierende Folge, die von einer beliebigen natürlichen Zahl ausgehend für gerade Zahlen n/2 und für ungerade 3n+1 als Nachfolger hat. Ihre Konvergenz konnte bisher nicht bewiesen werden, wurde aber bis in astronomische Höhen nachgerechnet.
Nun habe ich eine "kleinere" Folge gefunden, die bei ungeraden Zahlen 2n+2 statt 3n+1 als Nachfolger hat. Sie wirkt wie eine Minorante bzw. Majorante und konvergiert schneller als die Collatz-Folge. Es ist anzunehmen, dass sie ebenfalls für alle natürlichen Zahlen konvergiert.
Weiß jemand etwas über diese Folge? Lässt sich vielleicht hier die Konvergenz beweisen?
2 Antworten
Soweit ich weiß, kann man laienhaft erklären, dass man das Collatz-Problem nicht lösen kann, weil die Operationen + und * sehr unterschiedliche Operationen sind. Und da der eine Fall mit 3n + 1 weiter geht, hat man Multiplikation und Addition in einem. So hat das mal Professor Weitz der HAW Hamburg erklärt. Dennoch führt die Änderung der Collatz-Folge in (n + 1)/2 dazu, dass man den dort den einzigen Kreis (1,2) nachweisen kann. Schon bei Wikipedia geguckt? Vielleicht findest du für 2n + 2 einen ähnlichen Beweis.
Bei deiner "kleineren" Folge, kann man ganz gut erkennen, dass wenn n ungerade ist, dass dann nach drei Folgegliedern eine Zahl rauskommen muss die kleiner oder gleich n ist:
n wird zu
2n+2 wird zu
n+1 (da 2n+2 immer gerade ist) wird zu
(n+1)/2 (da n ungerade ist, ist n+1 gerade)
Und es gilt n >= (n+1)/2 (wobei Gleichheit nur bei n=1 gilt)
Wenn deine Startzahl n ist, muss die Folge in höchstens 3n Schritten die 1 erreichen (denn entweder wird immer nach 3 Schritten eine kleinere Zahl erreicht (wenn ungerade) oder direkt im nächsten Schritt eine kleinere Zahl erreicht (wenn gerade))
Das Problem bei der Collatz Vermutung ist halt, dass dieser Gedankengang nicht funktionieren wird.
super, das bringt und weiter