Welche linearen Funktionen stimmen mit Ihrer Umkehrfunktion überein?

Liegen die dann direkt übereinander?

Answer 1

[mihisu]

Liegen die dann direkt übereinander?

Da weiß ich nicht, was du damit meinst.

Meinst du das die unterschiedlichen möglichen Funktionen alle übereinander (im Sinne von in y-Richtung parallelverschoben zueinander) liegen? Nein. Das ist nicht bei allen Möglichkeiten der Fall.

Meinst du das die Funktion jeweils über ihrer Umkehrfunktion liegt, in dem Sinne, dass die Graphen genau den gleichen Verlauf im Koordinatensystem haben? Ja, klar. Wenn die Funktion mit ihrer Umkehrfunktion übereinstimmen soll, ist es die gleiche Funktion, sodass sie natürlich den gleichen Verlauf haben.

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Zur Lösung der Aufgabe...

Die Umkehrfunktion f⁻¹ einer Funktion f ist so definiert, dass f⁻¹(f(x)) = x für alle x im Definitionsbereich von f ist. Wenn nun f = f⁻¹ sein soll, vereinfach sich diese Bedingung zu f(f(x)) = x.

Die Funktion soll außerdem eine lineare Funktion sein. D.h. es gibt m, t ∈ ℝ, sodass f(x) = m ⋅ x + t für alle x ∈ ℝ ist. Setzt man dies nun in die Bedingung f(f(x)) = x ein, erhält man...

$f(f(x))=x\ \ \left(\text{für alle }x\in \mathbb{R}\right)$

$\Leftrightarrow\quad m\cdot (m\cdot x+t)+t=x\ \ \left(\text{für alle }x\in \mathbb{R}\right)$

$\Leftrightarrow\quad m^2\cdot x+m\cdot t+t=x\ \ \left(\text{für alle }x\in \mathbb{R}\right)$

$\Leftrightarrow\quad m^2\cdot x+\left(m+1\right)\cdot t=x\ \ \left(\text{für alle }x\in \mathbb{R}\right)$

$\Leftrightarrow\quad m^2\cdot x+\left(m+1\right)\cdot t=1\cdot x+0\ \ \left(\text{für alle }x\in \mathbb{R}\right)$

$\Leftrightarrow\quad m^2=1\ \text{ und }\ \left(m+1\right)\cdot t=0$

$\Leftrightarrow\quad m=\pm 1\ \text{ und }\ \left(m+1\right)\cdot t=0$

$\Leftrightarrow\quad \left(m=1\ \text{ und }\ \left(m+1\right)\cdot t=0\right)\ \text{ oder }\ \left(m=- 1\ \text{ und }\ \left(m+1\right)\cdot t=0\right)$

$\Leftrightarrow\quad \left(m=1\ \text{ und }\ \left(1+1\right)\cdot t=0\right)\ \text{ oder }\ \left(m=- 1\ \text{ und }\ \left(-1+1\right)\cdot t=0\right)$

$\Leftrightarrow\quad \left(m=1\ \text{ und }\ t=0\right)\ \text{ oder }\ \left(m=- 1\ \text{ und }\ 0=0\right)$

$\Leftrightarrow\quad \left(m=1\ \text{ und }\ t=0\right)\ \text{ oder }\ m=- 1$

Dementsprechend sind folgende lineare Funktionen mit der gewünschten Eigenschaft möglich...

• $f(x)=1\cdot x+0$
• $f(x)=-1\cdot x+t\text{ mit beliebigem }t\in \mathbb{R}$

Also...

• $f(x)=x$
• $f(x)=-x+t\text{ mit beliebigem }t\in\mathbb{R}$

Answer 2

[gauss58]

Schau Dir die Funktion f(x) = x mal an und bilde die Umkehrfunktion.