Tiefpunkt mit einem Parameter berechnen (Funktionsschar)?
Ich schreibe bald eine Klausur über Funktionsscharen (Mathe LK) und brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe :
Ein Seil für eine Bergseilbahn soll zwischen zwei Masten gespannt werden. Die Höhe (in Metern) des durchhängenden Seils über dem Meeresspiegel wird durch die Funktion fc mit fc(x) = 1+c/1500^2 x^3 - cx + 500 (0<= x <= 1500; c>= -1) beschrieben, wobei x die horizontale Entfernung in Metern vom Startpunkt angibt.
d) Zeigen Sie rechnerisch für welche Werte von c der Graph von fc einen Tiefpunkt im Intervall [0; 1500] hat.
Die Ableitung habe ich schon gebildet, nur weiß ich nicht wie weiter machen soll
fc’(x) = 3* (1+c/1500^2) x^2 - c
2 Antworten
Ich habe das Gefühl, dass da Klammern fehlen
fc(x) = (1+c)/1500^2 x^3 - cx + 50
fc’(x) = 3* ((1+c)/1500^2) x^2 - c
Für ein lokales Minimum (neuerdings wohl "Tiefpunkt" genannt) muss die erste Ableitung 0 sein.
Wenn man die Nullstelle x0 (in Abhängigkeit von c) kennt, muss man überlegen welche Werte c annehmen darf, damit man beim Berechnen von x0
- nicht durch 0 dividiert
- keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen muss
- Werte zwischen 0 und 1500 erhält
Zur Kontrolle sollten man die zweite Ableitung berechnen. Sie sollte größer als 0 sein. Wenn sie gleich 0 ist, muss man näher hinsehen.
Anhand der von Dir berechneten ersten Ableitungen habe ich ja erst bemerkt, dass Klammern fehlen ;-)
Die Überlegungen sind doch rechnerisch genug. ;-)
Man kann natürlich auch Ungleichungen für c aufstellen: Divisor != 0, Radikand (das was unter dem Wurzelzeichen steht) >= 0 und versuchen, die Ungleichungen zu lösen. Aber das halte ich für übertrieben, denn man sieht das eigentlich auch so.
Berechne mal den Tiefpunkt dieser Funktionen f_c. Der Tiefpunkt wird vom Parameter c abhängen. Für welche Werte von c ist die entsprechende Extremstelle dann im vorgesehenen Intervall?
Also als Extremstelle habe ich jetzt x1/2 = +/- Wurzel aus 1500^2c/(3+3c) raus, da aber x nicht negativ sein kann, fällt die zweite Extremstelle weg
Dann habe ich die Fallunterscheidung gemacht und raus bekommen, dass wenn c >= 0 ist, ein Tiefpunkt vorliegt. Wie geht es jetzt weiter?
Beide Seiten quadrieren.
x^2 = 1500^2c/(3+3c)
x^2 * (3+3c) = 1500^2c
x^2 * (3+3c)/1500^2 = c
x^2 * 3/1500^2 + 3c/1500^2 = c
x^2 * 3/1500^2 = c - 3c/1500^2
Rechts dann noch zusammenfassen. Oder habe ich einen Fehler gemacht? Du musst vorher noch sicherstellen, dass c nicht -1 ist, ansonsten würdest du durch 0 teilen.
Danke!! Für c habe ich c=2,99996x^2 (bzw. c = 3x^2) raus
Jetzt sitze ich schon seit mehr als einer Stunde daran die Funktion der Ortskurve zu bestimmten und komme an kein Ergebnis :(
fc (x) = (1+c)/1500^2 * x^3 - cx + 500
xe = Wurzel 1500^2c/(3+3c)
ye = (1+c)/1500^2 * (Wurzel 1500^2c/(3+3c))^3 - c* (Wurzel 1500^2c/(3+3c)) + 500
(x in fc(x) eingesetzt)
y = (1+3x^2)/1500^2 * (Wurzel 1500^2*3x^2/(3+3*3x^2))^3 - 3x^2 (Wurzel 1500^2*3x^2/(3+3*3x^2)) + 500
(c eingesetzt)
y^2 = (1+3x^2+3x^4)/1500^4 * (1500^2 * 3x^2/(3+9x^2))^6 - 9x^4 * (1500^2 * 3x^2/(3+9x^2)) + 500^2
(Gleichung quadriert um die Wurzel weg zu bekommen)
Habe ich da was falsch gemacht?
Ich hoffe es ist nicht zu unübersichtlich geworden😅
Danke für den Hinweis, die Klammern habe ich beim Errechnen der Extremstelle zum Glück berücksichtigt :)
Kann man den Wert von c nicht rechnerisch berechnen oder beruht das Ganze nur auf Überlegungen?