Symmetrie ganzrationaler Funktionen?
Wenn eine ganzrationaler Funktion gerade und ungerade Exponenten enthält, ist sie dann punkt- oder achsensymmetrisch? Oder weder noch ?
5 Antworten
Obwohl man weiß, dass gerade Funktionen immer achsensymmetrisch zur y-Achse und ungerade Funktionen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind, kommt man nicht drumherum, das auch mathematisch mit einem Rechenweg zu begründen.
Aus f(-x) = f(x) folgt die Achsensymmetrie zur y-Achse.
Aus -f(-x) = f(x) folgt die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.
Das bloße Erkennen gerader bzw. ungerader Funktionen ist nur eine Hilfe, ersetzt aber nicht das Rechnen.
Beispiele:
1) f(x) = cos(x)
Es ist f(-x) = cos(-x) = cos(x) = f(x) für alle x. Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
2) g(x) = sin(x)
Es ist -g(-x) = -sin(-x) = sin(x) = g(x) für alle x. Der Graph von g ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
3) h(x) = 1/x
Es ist -h(-x) = -1/(-x) = 1/x = h(x) für alle x auf dem Definitionsbereich D=R\{0}. Der Graph von h ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
4) i(x) = x^4-x²+3
Es ist i(-x) = (-x)^4-(-x)²+3 = x^4-x²+3 = i(x) für alle x. Der Graph von i ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Wenn die Funktion nur gerade Exponenten enthält ist sie achsensymmetrisch und wenn sie nur ungerade Exponenten enthält ist sie punktsymmetrisch. Wenn sie sowohl gerade, als auch ungerade Exponenten enthält ist sie weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch.
Hallo,
weder noch - jedenfalls nicht symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung.
Achsensymmetrisch bedeutet, daß sich ein Funktionsgraph spiegelt. Enthält die Funktion nur gerade Exponenten, z.B. f(x)=3x⁴+2x²-3, so spiegelt sich die Funktion an der y-Achse.
Enthält sie nur ungerade Exponenten wie f(x)=2x³-x+2, so ist sie punktsymmetrisch in bezug auf den Ursprung, also den Punkt (0|0).
Bei gemischten Exponenten kann - muß aber nicht - eine Achsen- oder Punktsymmetrie zu einer Parallele zur y-Achse oder zu irgendeinem Punkt im Koordinatensystem vorliegen.
Um eine Achsensymmetrie zu einer Achse ungleich y zu erkennen, mußt Du einen beliebigen Punkt der zu untersuchenden Funktion in die Gleichung
f(x)=f(2a-x) eingeben und daraus a berechnen. Durch x=a würde dann die Symmetrieachse gehen.
Um eine Funktion auf eine Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt zu untersuchen, brauchst Du zwei Punkte der Funktion, die Du in folgende Gleichung einsetzt:
-f(x)=f(2a-x)-2b.
Hier brauchst Du zwei Punkte, mit denen Du ein Gleichungssystem aufstellst, um a und b zu berechnen. (a|b) wäre dann ein möglicher Symmetriepunkt, der allerdings darauf zu prüfen wäre, ob er überhaupt zum Funktionsgraphen gehört. Nur, wenn diese Bedingung erfüllt ist, liegt wirklich eine Punktsymmetrie vor.
Herzliche Grüße,
Willy
Bei geraden Exponenten ist sie achsen-symetrisch, denke an x hoch 2.
Bei ungeraden Exponenten punkt-symetrisch.
nur gerade Exponenten: achsens.
nur ungerade Exponenten: punkts.
beides: weder noch.
