Gibt es bei gebrochenrationalen Funktionen bestimmte Regeln um die Symmetrie direkt zu erkennen?
Bei ganzrationalen Funktionen herscht ja z. B achsen symmetrie wenn alle exponenten gerade sind und punktsymmetrie wenn alle exponenten ungerade sind und keine symmetrie wenn es sowohl gerade aber auch ungerade Exponenten gibt.
Gibt es solche "Regeln" auch bei gebrochenrationalen Funktionen so dass man die Symmetrie direkt erkennt ohne die typische Rechnung f(x) = f(-x) oder f(-x) = - f(x) zu machen?
LG
3 Antworten
Da gilt das gleiche. Du guckst Dir Zähler und Nenner separat an. Sind beide gerade oder beide ungerade, dann ist die gebrochenrationale Funktion gerade; ist eins von beidem gerade, das andere ungerade, dann ist die Funktion ungerade.
Wenn ich keinen Denkfehler habe, herrschen die gleichen Regeln. Es geht doch darum, dass durch das Quadrieren die negativen Werte ins Positive gezogen werden. Das ist bei 1/x² genauso wie bei x², bei x^4 genauso wie bei 1/x^4.
Also f(x) = x^2 + x^0 + x^-2 müsste achsensymmetrisch sein, weil egal ob ich x oder -x übergebe, es kommen immer dieselben Werte heraus.
Genauso ist f(x) = x^1 + x^-1 punktsymmetrisch, da f(x) = -f(-x) ist. Jeder Summand wird bei negativem x im Vorzeichen gedreht und das - vor dem f(x) dreht die gesamte Menge an Summanden noch einmal.
Einfache Regeln gibt es bei gebrochenrationalen Funktionen nur dann, wenn Zähler- und Nennerpolynom für sich gesehen gerade oder ungerade Funktionen sind:
- Sind beide gerade oder beide ungerade, ist die gesamte Funktion gerade.
- Ist eine der beiden gerade und die andere ungerade, dann ist die gesamte Funktion ungerade.
- Ist zumindest eine der beiden weder gerade noch ungerade, dann gibt es keine einfache Regel.
Danke!