Sind mehrere Messungen einer Größe immer genauer als nur eine Messung?
Ist es wirklich immer so? Kann man das beweisen?
6 Antworten
Ja sind sie.
Jede messung hat ja eine Bestimmte fehlertoleranz.
Sagen wir mein Messgerät ist ein Temperatur messgerät welches im bereich von -20 - 80 Grad celsius misst. Sagen wir es hat einen Messfehler von 1%.
Das bedeutet in diesem falle. Das das Messgerät in diesem fall um bis zu 1 Grad falsch liegen kann.
Sagen wir unser messobjekt hat eine Temperatur von 50 grad.
Nun wird unser messgerät. Mit seiner fehlertoleranz. Bei jeder messung einen wert zwischen: 49 und 51 grad auspucken.
Wenn dir das genau genug ist. Dann ists wunderbar.
Wen nicht. Dann kommt man zu einem besseren wert wenn man eben mehrfach misst.
Man geht davon aus. Das der Messfehler ein zufallswert ist. Also das alle werte zwischen 49 und 51 grad gleich warscheinlich sind in unserem beispiel. (Abweichungen davon kann man denke ich durch eichen ausgleichen. Wenn ein messgerät z.b. immer 1 grad zuwenig misst. Dann muss man es blos eben um 1 grad verstellen. In Real wird es sich aber eher um ne Glockenkurve (normalverteilung) um den Realen messwert handeln. Sprich Grössere abweichungen sind weniger warscheinlich als kleinere. Aber die verteilung der Zufallsvariable ist fürs prinzip unerheblich)
Nun messen wir mehrmals: (der einfachheit halber gibt unser messgerät nur die werte 49, 50, und 51 aus)
49,51,50,50,49,51,51,51,51,51
10 Messungen. Summe der werte 504.
Das durch 10 für den Durschnitt. (Weil gleichverteilt) Macht einen messwert aus den 10 messungen von 50,4 grad. Und man sieht das wir schon um 0,6 grad näher an den realwert dranne sind.
Je mehr messungen du machst. Desto näher wirst du an den realen wert rankommen. Wenn wir jetzt ne million messungen machen würden. Dann würde der durschnittswert vieleicht bei 50,00001 liegen.
Wenn der Fehler normalverteilt ist. Kann man genau das gleiche machen. Die rechungen sind nur komplexer.
Wegen dem messfehler ist es auch wichtig das der messbereich immer passend gewählt wird. Sodass der zu erwartende messwert möglichst immer im oberen bereich des messbereiches liegt. (Wenn man jetzt von einer skala von 0-x ausgeht)
Wenn wir z.b. nen thermometer hätten das nen messbereich von 40 -60 grad hat. Und auch eine Fehlertoleranz von 1% dann würde die abweichung nur +-0,2 grad ergeben.
Umgekehrt: Wenn wir nen messgerät haben welches uns von -200 bis 600 grad alles misst. Haste bei 1% fehlertoleranz schon ne abweichung von 8 grad.
Es ist nicht ausgeschlossen, dass die erste Messung jene mit dem geringsten Fehler ist - allerdings wird dir das ohne weitere Messungen unbekannt bleiben.
Betrachtungen von Fehlern sind ein weites Feld, für zufällige Fehler gilt
Aus https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/physik/artikel/fehlerbetrachtungen
Beim Auftreten von zufälligen Fehlern ist es aufgrund ihres statistischen Charakters sinnvoll, eine Größe unter sonst gleichen Bedingungen mehrfach zu messen.
Den Rest solltest du bitte auch lesen, der ist zu umfangreich für ein Zitat.
das ist so. Statistik gehört zu den besser erforschten Bereichen der Mathematik.
Die Wahrscheinlichkeit von Messfehlern nimmt mit Mehreren Messungen ab, da man eine Messreihe entwickeln.