Quadratische betragsungleichung?

Kann mir jmd sagen wie man diese Ungleichung mittels fallunterscheidung lösen kann? .

Danke im voraus

Answer 1

[Zellner82]

Also, es ist gegeben:

$\mid x^2+x-2\mid>2$

Du musst quasi die markanten x-Stellen finden, wo "x² + x - 2 = 0" gilt. Genrell musst du dann Bereiche auswählen wo du dann ohne Betrag schreiben kannst.

Die Nullstellen von "x² + x - 2 = 0" findest du hier mit der pq-Formel, also:

$x_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=-\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}\ ,$

also x_1 = 1 oder x_2 = -2 .

Wenn du Werte einsetzt, oder den Graphen gezeichnet hast, wirst du feststellen, dass

$\left(a\right)\ x\in\left(-\infty;\ -2\right]\text{}\cup\left[1;\ +\infty\right]$

der Term "x² + x - 2 = 0" Positiv ist und für

$\left(b\right)\ x\in\left(-2\ ;\ 1\ \right)$

also für diese x-Werte der Term "x² +x -2" negativ.

Also hast du zu lösen zwei Ungleichungen, nach dem eben gesagten mit:

I. x² + x - 2 >= 2 für alle x wie in (b) oben (hier ist ja derBetrag erfüllt) sowie

II. -x² - x + 2 > 2 nach oben (a), weil hier der Betrag verletzt werden würde... Daher muss ich das umschreiben.

Betrag von 0 ist ja erlaubt.

Viel Spaß!

Anmerkung: I. und II. sind sehr leicht zu lösen, wenn man alle x-Variablen auf einer Seite hat und dann jeweils ein x ausklammert.
Bei Multiplikation mit einer negatvien Zahl dreht sich die das Zeichen "<" um (bzw. das Zeichen ">")!

Answer 2

[Guinan1972]

(X^2+x-2)^2>4

X^4+x^3-2x^2+x^3+x^2-2x-2x^2-2x>0

X^4+2x^3-3x^2-4x>0

X(x^3+2x^2-3x-4)>0

X1=0

X2=-1

X(x+1)(x^2+x-4) >0

X3=-1/2+wurzel (1/4+4) =-1/2+wurzel(17/4)=1,561

X4=-1/2-wurzel (17/4)=-2,561

-unendlich<x<-2,561

-1<x<0

1,561<x<+unendlich