n-te Ableitung bilden
Hallo, ich soll die n-te Ableitung von f(x)= 1 / (2x-3)^3 angeben. Umgeschrieben wäre das dann (2x-3)^(-3). Ich weiß leider nicht wie ich auf diese kommen soll.
Falls es hilft: Die 1. Ableitung lautet (meines Erachtens) f´(x) = (-3) * (2x-3)^(-4) * 2 = (-6) * (2x-3)^(-4) und die 2. Ableitung: f´´(x) = (-6) * (-8) * (2x-3)^(-5) = 48 * (2x-3)^(-5)
Kann mir jemand helfen? Dankeschön!
LG Starli
4 Antworten
Leider ist das Leben nicht so richtig einfach. Leicht ist es nur, wenn man die Kettenregel nicht berücksichtigt. Der Term (2x - 3)^3 steht zudem auch noch im Nenner. Ich habe spaßeshalber mal experimentiert.
Die n-te Ableitung ist 2^(n-1)*(n+2)! / (2x-3)^(n+3)
Ich habe es bis zur fünften gecheckt, habe aber zur Zeit nicht die leiseste Meinung, es zu beweisen. Ich möchte noch nicht einmal behaupten, dass es mit der vollständigen Induktion ginge. Schon allein die Beziehung heraus zu bekommen, war nicht ganz einfach. Aber sie müsste wohl stimmen.
Wie bin ich darauf gekommen? Der Nenner ist ziemlich klar. Im Zähler erkennt man ganz schnell die Fakultäten, wenn man die Potenzen von 2 herauszieht. Wenn man sich das dann erst mal überlegt hat, kommt man ziemlich schnell dahinter, muss sich aber auch ziemlich stark dabei konzentrieren.
Bei n = 0 kommt sogar die Funktion selber heraus.
Du hast noch ein (-1)^n vergessen. Dann stimmt es und zwar für alle natürlichen n, wie man durch einen einfachen Induktionsbeweis sehen kann. (Wenn die Formel für n gilt, sieht man durch Ableiten, dass sie auch für n+1 erfüllt ist.)
Hatte ich auch schon bemerkt. :) Habe es einfach beim Zähler hinzugefügt.
Tipp: Berechne die n-te Ableitung von f(y)=1/y^3 und dann schau, was sich ändert, wenn du y=2x-3 wählst.
f(x) = (2x-3)^(-3) => f'(x) = (-3)*(2x-3)^(-4)*2.
Beispiel: 1/x^1 = x^(-1). => Du kannst einen Bruch in eine Potenz verwandeln, musst aber den Exponenten in das Negative setzen.
Was beobachtest du? Die 2x-3 bleibt, nur die Potenz davon wird um 1 kleiner. Jetzt musst du nur noch herausfinden, wie sich der Vorfaktor zusammen setzt.
Du kannst die Formel gleich an deinen Ableitungen erproben. Sie scheinen zu stimmen, wobei ich es mit deinen Vorzeichen gerade nicht so durchblicke.
n ist die Nummer der Ableitung.