Mathe: Ebene senkrecht auf Ebene durch einen Punkt?
Hallo, ich hab folgendes Problem.
Es ist eine Ebene in Koordinatenform gegeben. Dazu soll eine Ebene angegeben werden, die senkrecht auf der Ebene E steht und durch einen gegebenen Punkt verläuft.
Mein Ansatz wäre:
Die Koordinaten der gegebenen Ebene geben einen Richtungsvektor der gesuchten Ebene an und der Punkt ist der erste Vektor, aber woher bekomm ich den dritten?
2 Antworten
Dein Ansatz passt soweit. Der Punkt kann als Ortsvektor aufgefasst als Stützvektor der Ebene fungieren und die Koeffizienten aus der Koordinatenform liefern dir den ersten Richtungsvektor.
Für den zweiten Richtungsvektor kannst du dir am überlegen, dass der Verbindungsvektor, der den gegebenen Punkt und einen beliebigen Punkt, der auf dem Richtungsvektor (und seinen Vielfachen) liegt, verbindet, auch ganz in der Ebene liegen muss. Dieser Verbindungsvektor kann dann (wenn er nicht gerade parallel zum ersten Richtungsvektor ist) als zweiter Richtungsvektor benutzt werden.
Da der Punkt beliebig auf dem ersten Richtungsvektor (und seinen Vielfachen) liegen darf, kann man natürlich einfach den Richtungsvektor als Ortsvektor auffassen und den zweiten Richtungsvektor dann als Differenz des Ortsvektor des Punktes und des ersten Richtungsvektors berechnen.
So hast du die Ebene dann in der Parameterform.
Ich würde Normalenform der gesuchten Ebene vorschlagen, wobei der Normalenvektor senkrecht zu dem der vorgegebenen Ebene ist. Es gibt auch mehrere solcher Ebenen, wenn ich die Aufgabe richtig verstehe.
x bleib Variable, p ist der Ortsvektor zum gegebenen Punkt. n bestimmst du so, dass das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor der anfänglichen Ebene null ist. Diesen Normalenvektor kannst du aus den Vorfaktoren der Koordinatenform der Ebene ablesen.
Die Normalenform ist ja (x-p) mal n = 0; aber wie komme ich dann auf die Werte?