Kann man mathematisch beweisen, dass 2+2=4 ist?
Das ist keine Trollfrage!
In der Mathematik muss man ja Dinge oft mathematisch beweisen. Geht das auch bei solchen ganz trivialen Aufgaben? Oder braucht es mehr Komplexität dafür?
Wenn nicht, wie sähe denn der Beweis dafür aus, dass 2+2=4?
10 Antworten
Das ist eine sehr schöne Frage, die sich relativ schön auf den Fall 1+1=2 zurückführen lässt. Der ist nämlich auch nicht so trivial und lässt sich formal nur zeigen, wenn wir uns mit der axiomatischen Definition der natürlichen Zahlen beschäftigen. Alles, was wir über die natürlichen Zahlen wissen, geht aus fünf Axiomen hervor, den Peano-Axiomen (mit allein diesen 5 Axiomen können wir dann auch noch alle anderen Zahlenmengen wie die ganzen, rationalen, reellen, komplexen, hyperkomplexen aus den natürlichen Zahlen konstruieren).
Wenn dich wirklich der formale Beweis interessiert, dann habe ich hier eine Antwort für den einfachen Fall 1+1=2 gegeben:
https://www.gutefrage.net/frage/ist-es-bewiesen-dass-11-2-ergibt
Die Axiome in verständlicher Kurzform:
- Es gibt die natürlichen Zahlen. Das heißt, die Menge IN ist nicht leer und enthält mindestens ein Element - das bezeichnen wir mit dem Symbol 1.
- Jede Zahl hat einen Nachfolger.
- 1 ist kein Nachfolger (also intuitiv die "kleinste" Zahl - wobei wir uns dann auch überlegen müssten, was kleiner/gleich/größer bedeuten soll).
- Der Nachfolger ist eindeutig.
- Das Prinzip der vollständigen Induktion (ist aber hier weniger wichtig).
Der Knackpunkt des ganzen ist in 2. eine (axiomatisierte) Nachfolgerabbildung (a)
die jeder natürlichen Zahl ihren Nachfolger zuordnet (wir postulieren in 2., dass es diesen Nachfolger gibt und in 4., dass er eindeutig ist - d.h. formal, dass die Nachfolgerabbildung injektiv und eingeschränkt auf die Zielmenge IN* sogar bijektiv ist). Und abgesehen von ein paar axiomatisierten Eigenschaften ist es im Wesentlichen das, worauf es ankommt (der Name der Abbildung ist übrigens kein v, sondern ein griechisches Nü - nennt man halt oft so ;-) ).
Wir definieren nämlich in (a) einerseits die Abbildung selbst und andererseits schreiben wir den Funktionswert der Nachfolgerabbildung als n + 1 (das ist also eine definierte Notation, die wie wir gleich sehen Sinn ergibt - wir hätten stattdessen aber auch n*, n. oder n/spülmaschine wählen können). Weiter ordnen wir den Funktionswerten die bekannten Zahlsymbole zu, setzen also (b)
und müssen noch von einer weiteren Definition, nämlich (c)
für natürliche Zahlen n und k Gebrauch machen (wichtig: wir wissen noch nicht, ob die Addition kommutativ ist, können die Definition also nur genau so - links Zahl, rechts Funktionswert - anwenden). Damit folgt dann aber ganz einfach
was zu beweisen war. Diese Umformungsschritte wirken alle sehr trivial, weil uns das Zahlensystem bekannt sind, eigentlich müssen wir aber jeden von ihnen verifizieren:
- In der ersten Gleichheit wurde einfach die Definition (b) des Symbols 2 angewandt.
- Dadurch konnten wir im zweiten Schritt mit der Definition (c) (vermöge n=2 und k=1) die Form "zusammenziehen".
- Wieder die Definition (b) des Zahlsymbols 2.
- Hier schreiben wir per Definition (a) den Funktionswert wieder um.
- Nächste Zeile: Wir ziehen per (a) die letzten zwei Einser zusammen (streng genommen haben wir dabei die Assoziativität genutzt, die wir nicht bewiesen haben).
- Wir schreiben es wieder per (c) um.
- Und wieder wird aus der Addition von 1 mit (a) der Funktionswert der Nachfolgerabbildung. Dann wird einfach aufgelöst:
- Der Nachfolger von 1 ist 2 (b).
- Der Nachfolger von 2 ist 3 (b).
- Der Nachfolger von 3 ist 4 (b).
Und dann steht es da. (Würden wir Kommutativität auch noch einfach nutzen, ginge die Umformung ein bisschen schneller.)
Damit haben wir
bewiesen. Uns bleibt also bei solchen Beweisen letztlich nicht wirklich viel anderes übrig, als so gut wie alles auf die Nachfolgerabbildung herunterzubrechen (denn nur dadurch haben wir die Zahlsymbole ja definiert). So funktioniert der formale Beweis - dass die Identität stimmt, ist intuitiv natürlich völlig klar, aber der Beweis ist eben doch ein bisschen verzwickter, wenn wir wirklich sauber argumentieren.
Vielleicht noch ein zwei Worte zum Beweis: Mir ist klar, dass das auf viele so wirken würde, als würde man mathematisch Dinge "verkomplizieren", denn die Aussage scheint klar. Darum geht es aber überhaupt nicht, sondern darum, Dinge wirklich zu definieren und zu konstruieren - bei so einfachen Dingen mag das noch nicht nötig erscheinen, aber wenn aus den natürlichen Zahlen (und die sind tatsächlich Ursprung für fast alles) weiter komplexere Dinge konstruiert werden, kommt man irgendwann in Teufels Küche, wenn man anfänglich Dinge einfach angenommen und nicht wirklich bewiesen oder sauber definiert hat. Das ist beim Beweis anderer Aussagen genauso: Zum Beweis einer Aussage muss man sich konkret auf Definitionen beziehen können, aus denen das Behauptete folgt. Das ist bei komplexeren Aussagen oft völlig verständlich, hier wirkt es womöglich viel zu kompliziert - aber es ist eben der mathematische Weg, Dinge zu zeigen, auf denen schlussendlich das gesamte System der Mathematik aufgebaut ist.
LG
Mich würde auch deine Antwort interessieren, warum sowohl 2+2 als auch 2x2 4 ergibt? Ist das Definition oder Zufall oder? Danke.
Es folgt natürlich aus der Definition - Zufall ist es aber nicht wirklich (zumindest kein mathematischer Zufall, intuitiver Zufall schon eher). Definieren wir die Multiplikation als fortwährende Addition (ein "mal 2" ist also ein zweimaliges Addieren), ist die Eigenschaft klar:
n * 2 = 2 + 2 + ... + 2 (n-Mal) und damit 2 * 2 = 2 + 2. (Tatsächlich sind 0 und 2 die einzigen Zahlen mit der Eigenschaft a * a = a + a bzw. a² = 2a).
Danke. Und wie erklärst du persönlich, dass (die 0 und) die 2 die einzigen Zahlen mit dieser Eigenschaft sind?
Es freut mich sehr, dass du einer der wenigen "Mathefans" bist, der sofort weiß, dass dies KEIN mathematischer Zufall, sondern eine logische Folge einer mathematischen Definition ist:
Seit etwa den 1990-er Jahren "beschäftigte", um nicht "quälte" zu sagen, ich nämlich mehrere mit mir befreundete habilitierte Mathematiker und theor. Physiker mit meiner philosophisch-fantastischen Frage, ob nicht (umgekehrt) ein intuitives Wissen um dieses Zahlenrätsel (2+2 = 2*2) der Ursprung zumindest der euklidischen Mathematik oder sogar "aller" Mathematik sein könnte. Denn seltsamerweise sprechen sehr viele antike Mythen von der Entzweiung des Seins als Entstehung des Daseins - auch viele Religionen übernahmen dies und lehren dazu noch die Dreieinigkeit.
PS: Ich bin nämlich Philosoph, nicht Mathematiker. In den letzten Jahrzehnten ist mir auch häufig zu Ohren gekommen, dass einige Tiere bis 4 zählen können (z. B. Hauskatze, Eichhörnchen). Zuerst entstand dazu die These, dass dies die maximale Anzahl der Jungtiere eines Wurfes sei, und deshalb für die Mutter wichtig sei, bis 4 zählen zu können. Das hat sich aber eher nicht bestätigt.
Sind halt die einzigen Lösungen der Gleichung a² = 2a, auf mathematischem Weg:
a² = 2a ⇔ a² - 2a = 0 ⇔ a(a - 2) = 0 ⇔ a = 0 oder a = 2 (Nullprodukt).
Oder intuitiver:
- a < 0: Negative Zahlen können die Gleichung nicht erfüllen, denn die linke Seite wäre positiv, die rechte negativ.
- 0 < a < 1: Für Zahlen zwischen 0 und 1 ist das Quadrat kleiner als die gegebene Zahl, 2a aber natürlich größer (doppelt so groß), es wäre a² < a < 2a.
- 1 ≤ a < 2: Für Zahlen zwischen 1 und 2 ist a * a kleiner als 2 * a (denn a ist kleiner als 2).
- a > 2: Für Zahlen größer als 2 ist a * a größer als 2 * a. Bleiben noch Zahlen zwischen 0 und 2.
Es bleiben also nur 2 und 0 als mögliche Kandidaten für Gleichheit.
Oder ein bisschen einfacher: Sei a nicht-null.
- a < 2: Dann ist a * a < 2 * a.
- a > 2: Dann ist a * a > 2 * a.
Auch hier bleiben nur 2 und 0.
Kleine Zahlen sind aber oft Vertreter für abergläubisch-esoterische Ansichten, weil sie eben im Leben am öftesten vorkommen oder vorkamen, als diese Ansichten noch Status Quo waren. Dass Tiere nur bis 4 zählen können, finde ich spannend, wobei dann natürlich auch die Frage ist, was zählen ist.
Danke. Das habe ich (wieder einmal - nach meinen nun endlich gefundenen Aufzeichnungen) verstanden. Und mein Denken möchte doch noch immer der Zahl 2 und der so gegebenen Lösung in Gleichheit als irgendeine philosophische Besonderheit deuten... Vielleicht nicht so wichtig … Mein Thema ist Ästhetik in der Ethik. Was ist die Kultur gegenüber der Natur? Irr- und Surrealität gegenüber Realität. Was ist davon annähernd wahr? Vom Schöngeistigen über das … bis zum Beispiel ins Verfassungs- und Strafrecht hinein.
Dein Gedanke zum Zählen ist sehr wichtig.
Zum Beispiel hat man mit Hunden und Katzen schon viele verschiedene Experimente gemacht, die man unter Biologen wegen der Domestikation ja eher ablehnt, bis man endlich verstand, dass man nur den visuellen Eindruck änderte, was die Mehrheit der Tiere leicht wahrnehmen, sich daran erinnern und so scheinbar schwierige Zählaufgaben einfach lösten.
Entscheidend wurde dann die Kombination der Sinneswahrnehmungen und das Wiedererkennen von Reizen: Zum Beispiel
Man stellte 6 identische, mit Deckel geschlossene Fressnäpfe vor die Katze. Die Deckel waren mit großen Würfelpunkten nummeriert. Nur im z. B. dritten Napf war Fressen. Das zeigte man der Katze dann eindringlich mit den geöffneten Deckeln. Sie durfte fressen. Dann übte man (Pawlow) den Prozess als Versuch ein: Man setzte die Katze (natürlich nach einiger Zeit) wieder vor die geschlossenen Näpfe, machte einen dreimaligen Gongschlag und ließ sie zum dritten Napf selbst gehen. Das mehrmals. Das Erriechen des Fressens wurde zuerst unmöglich gemacht, also wusste die Katze die drei Punkte, fand den gefüllten Napf.
Aber nun kam das Fressen in den zweiten Napf. Die Katze saß wieder vor allen, dann machte man nur zwei Gongschläge und die Katze ging ohne Umweg zum zweiten Napf. Die einzige Erklärung war, dass sie die Menge die Klänge mit der Menge der Punkte vergleichen konnte und den Trick verstand. Das funktionierte aber nur einschließlich der Zahl vier! Mehrere Katzen konnten das. Hunde nie. Auch seltsam! - Und so kam ich wieder einmal zu einer meiner Lieblingsfragen: Sind Hunde intelligent, WEIL der Mensch sie mit hunderten Worten, also Lauten, dressieren kann, oder ist die Katze intelligent, WEIL sie genau das mit sich nicht machen lässt, obwohl sie es auch könnte? Oder kann sie das nicht? Vorsicht, denn wie wir heute wissen, verwandelt sich die ach so typische Einzelgängerin "Katze" unter bestimmten Lebensbedingungen ganz einfach und schnell in ein Herdentier wie ein Hund oder Pferd.
Ein paar Jahre später lief uns eine Katze zu, eine von den bekannten schüchternen, also immer das ca. siebte Junge von allen Jungen einer Katze. Wir waren sehr erstaunt, wir experimentieren mit ihr nach diesem Versuch und sie konnte das genau in dieser Art ausführen, allerdings nur, wenn sie wirklich Hunger hatte. Einen echten Reflex stellten wir nicht fest, eher den festen Willen der Katze. Derzeit experimentiere ich mit drei Eichhörnchen in unserem Garten, sie haben glücklicherweise auffällige unterschiedliche Merkmale, z. B. ein Ohr niedere Fellspitze. Bin gespannt, was für lustige Ergebnisse ich vielleicht haben werde … Grüße!
Jetzt musste ich kurz lachen beim vorletzten Satz. Du bist ja irre ;-)
Der Effekt klingt wahnsinnig, trotzdem finde ich die Folgerung, dass Katzen tatsächlich zählen können, gefährlich. Das ist typische Küchentisch-Psychologie mit leichtfertigen Folgerungen. Dass die Katze oft den richtigen Napf erwischt, ist natürlich eine sehr spannende Beobachtung. Aber damit ist nicht gesagt, dass die Katze tatsächlich gezählt hat, denn der Effekt könnte auch weitaus primitiver entstanden sein, etwa indem die Katze den ein-punktigen Napf fokussiert und bei jedem Gong den fokussiert, auf dem ein Punkt mehr zu sehen ist.
Das kann man natürlich auch als zählen interpretieren, ist aber eher ein Erkennen von Zahlsymbolen - nichts Anderes tun wir Menschen ja auch, wenn wir aus dem Symbol 53 die Zahl dreiundfünfzig ablesen. Aber zum Zählen gehört für mich auch das Bewusstsein der natürlichen Ordnung (dass 1 weniger ist als 3) und das ist in dem Experiment bei der Katze zum Beispiel vermutlich nicht vorhanden. In dem Fall ist es eher ein Handeln nach diskreten Informationen und die Frage ist eher, worauf die Katze tatsächlich konditioniert ist, was noch weitaus differenzierte Versuche erfordert hätte.
Spannend wäre es gewesen, wenn die Katze die Näpfe erst nach den Tönen zu Gesicht bekommen und sich damit die Anzahl hätte merken müssen oder wenn man die Punkte durch andere Symbole ersetzt hätte, vielleicht verschiedene, oder mehr Symbole, von denen eine bestimmte Anzahl gleich oder ähnlich ist. Leider habe ich aber letztlich keine wissenschaftliche Publikation von Birmelin gefunden, sodass "Katzen können zählen" eher wie eine sehr gehypte, durcheinanderinterpretierte Beobachtung aus einer vermutlich bewusst sehr dünnen Aussage Birmelins scheint.
… stimme dir vollkommen zu. Was ich damals erfahren hatte, waren mehr billig produzierbare Versuchsreihen mit Studenten, um annähernd wissenschaftlich richtige Versuchsreihen zu erstellen und über die Wirkungen der un-/absichtlichen Parameterverringerung insbesondere, wie man dann geringste empirische Ergebnisse als Thesen (zur Wahrnehmung in verschiedenen Zusammenhängen) falsifizieren kann, nachzudenken, ohne Studien bzw. deren Ergebnisse unabsichtlich zum Beispiel durch Vorurteile in bestimmte Richtungen zu manipulieren, was ja gerne aus vielen Gründen geschieht. Eben mehr philosophisch-wissenschaftstheoretisch als verhaltensbiologisch-psychologisch!
Ich bin bei einem "Katzen-Zählen" auf keinem neuen Stand, möglicherweise ist man da bereits in der "Verhaltenspsychologie mit Wissen aus der Semiotik" bei nicht-domestizierten Tieren, eben nicht bei Haustieren, schon viel weiter, wenn man es wollte.
Warum einfach wenns auch kompliziert geht :D klasse Antwort ^^
In kurz gesagt: weil es so ist! 😅
Ja, das illustriert ganz schön, wie es ankommt ;-) trivial wirkende Dinge sind de facto eben nicht trivial und um das ging es mir in dieser Antwort deutlich zu machen. Das kann man leicht auch selbst spüren, wenn man mal versucht, die reellen Zahlen zu konstruieren. Die ganzen als positive und negative natürliche Zahlen und die rationalen als Quotienten ganzer Zahlen zu definieren, kann man sich intuitiv relativ gut vorstellen, aber eine Konstruktion der reellen Zahlen fällt dann oft schwerer. Und das ist denke ich der Punkt, an dem klar wird, dass man eine saubere Definition braucht. Formal definiert man die reellen Zahlen meist als Menge von Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen. Und das ist bei Leibe überhaupt nicht zu kompliziert, sondern einfach die Antwort auf die Frage: Was ist eigentlich eine reelle Zahl?
So, jetzt höre ich mal auf zu schreiben, das nimmt ja hier Ausmaße an ;-)
Liebe Grüße.
Danke für die Erklärung - aber ich brauchte ein Wörterbuch... Glaube da lohnt es sich nun eh nicht weiter zu erklären 😅 ich war immer ein Einser Schüler in Mathe bis Abschluss realschule aber so tief in die Materie haben wir uns ja nie gewühlt ^^ da spricht das Studium aus dir :D
Liebe Grüße!
Hallo,
Du kannst es aufgrund von Axiomen zeigen, die für die natürlichen Zahlen gelten und die selbst unbeweisbar sind:
Jede natürliche Zahl, angefangen mit der 0, hat genau einen Nachfolger.
Die 0 ist die einzige Zahl, die selbst Nachfolger keiner anderen Zahl ist.
Genau einen bedeutet, daß auf jede natürliche Zahl nur eine andere natürliche Zahl folgt. Außerdem gilt, daß wenn zwei Zahlen unterschiedliche Nachfolger haben, diese beiden Zahlen auch unterschiedlich sind. Es gibt also keine zwei natürlichen Zahlen, die ein und denselben Nachfolger haben.
Der Nachfolger von der 0 heißt 1. Da die 0 Nachfolger keiner Zahl ist, die 1 aber Nachfolger der 0, ist sichergestellt, daß 0 und 1 nicht dieselbe Zahl sind.
Der Nachfolger einer Zahl ist die Zahl, die Du erhältst, wenn Du zu ihrer Vorgängerin 1 addierst. Es gilt also: 0+1=1.
Die 1 hat wie alle anderen natürlichen Zahlen auch einen Nachfolger, für den gilt, daß er um 1 höher als 1 ist, also 1+1.
Man hat sich darauf geeinigt, daß der Nachfolger der 1 2 genannt wird.
1+1=2. Man hätte sich anstatt auf 2 auch auf B oder auf Spunk einigen können, aber die 2 hat sich nun einmal durchgesetzt.
Wenn zu 1+1 noch einmal 1 dazukommt, also 1+1+1, kommen wir auf den Nachfolger der 2, denn 1+1+1=(1+1)+1=2+1. Der Nachfolger der 2 wird 3 genannt. Auch hier hätte man irgendeine andere Bezeichnung wählen können, solange sie sich von den Bezeichnungen für 0 und 1 und 2 unterscheidet.
Wenn 2+1=3, dann ist 3+1 der Nachfolger der 3. Da 3=2+1, ist 3+1=2+1+1.
Da 1+1=2, gilt: 2+1+1=2+2.
2+2=3+1=Nachfolger von 3.
Auch den kann man wieder benennen, wie man möchte, solange man eine andere Bezeichnung als die für die 0, 1, 2 oder 3 findet.
Man hat sich auf 4 geeinigt.
Daher: 2+2=4.
Herzliche Grüße,
Willy
Hier hat angeblich mal jemand bewiesen, das 1+1=2 ist. Vielleicht geht das auch für deine Rechnung. Wäre auf jeden Fall ein sehr langer und komplizierter Beweis.
Ich kann da nichts entziffern. Scheinbar braucht man hier Kenntnis von vielen anderen Buchseiten.
In N, Z, Q und R ist das eine Folgerung aus den
https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome
sowie aus der Darstellung von Zahlen bezüglich einer Basis (im üblichen Fall 10).
In allgemeinen Gruppen gilt dies allerdings nicht. So ist z.B. in der Restklassengruppe Z_3 bezüglich der Addition 2 + 2 = 1.
An die Restklasse 3 hatte ich auch gedacht.
Man könnte den Beweis des Fragestellers auch führen, wenn man zeigt, dass das Abziehen von 1 bei einem Summanden und dem Addieren der 1 beim anderen Summanden das Ergebnis nicht ändert und die 0 als neutrales Element das Ende anzeigt. 2 + 2 = 3 + 1 = 4 + 0 = 4
Hier wird die Rechnung (4+8) mit den Peano Axiomen, also sozusagen den Definitionen der Mathematik berechnet. Der Beweis für 2+2 würde deutlich schneller gehen aber das Prinzip ist das Gleiche.
Tolle Antwort! Vielen Dank!