kann man Darwins Evolutionstheorie mathematisch beweisen?

Historische Abläufe können nicht mathematisch bewiesen werden. Das heißt jedoch nicht, dass wir sie nicht trotzdem zweifelsfrei belegen können. Nur ist die Art der "Beweisführung" eine andere, nämlich durch die Empirie - also durch Beobachten. Die Methode, derer sich die Wissenschaft dabei bedient, ist die Induktion. Damit ist gemeint, dass aus den Beobachtungen von ganz vielen speziellen Einzelereignissen (z.B. aus Experimenten, Messungen in der Natur usw.) allgemeingültige Schlüsse abgeleitet werden.

Wenn wir auf einen Turm steigen und von dort eine Kugel fallen lassen, landet sie auf dem Boden. Wenn wir dieses Experiment nun zehn, hundert, tausend Mal wiederholen und das Ergebnis ist jedes Mal dasselbe, können wir schlussfolgern: es muss eine Kraft geben, die die Kugel nach unten zieht. Wenn wir nun auch einen Würfel, einen Radiergummi, einen Stift und vieles mehr nach unten werfen, können wir noch allgemeiner schlussfolgern, dass diese Kraft nicht nur Kugeln, sondern jeden Körper anzieht. Diese Kraft nennen wir in der Physik die Schwerkraft, Anziehungskraft oder Gravitation.

Die Biologie bedient sich zum Belegen der Evolutionstheorie derselben Herangehensweise. Man beobachtet die Natur, z.B. dass Arten sich im Lauf der Zeit verändern, man macht Experimente im Labor unter kontrollierten Bedingungen oder im Freiland, man sucht Fossilien, vergleicht die Morphologie verschiedener Arten miteinander, nimmt DNA-Proben, ... und leitet aus all diesen Befunden die logischen Schlüsse ab. Die Evolutionstheorie ist heute die am besten untersuchte wissenschaftliche Theorie überhaupt und sie wird durch so viele Belege gestützt, dass sie heute als Tatsache angesehen werden muss.

Nein. Die Mathematik kann nur mathematische Sätze beweisen, keine empirischen. Du kannst mathematisch ja nicht mal beweisen, daß Blaubeeren blau sind, weil Blau­beeren keine mathematischen Objekte sind (genausowenig wie Tierarten).