Irrationale Zahlen mit Unendlich vielen Nachkommastellen?
Hallo, ich würde gerne gerne wissen woran man erkennt, ob eine Irrationale Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat und nicht irgendwann endet?
LG Lena
Und schon mal danke im Vorraus:)
5 Antworten
Für manche Zahlen lässt ich die Irrationalität beweisen. Z.B. lässt sich beweisen, dass die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl irrational ist, wenn in deren Primfaktorzerlegung mindestens einer der Primfaktoren in ungerader Anzahl vorkommt. Insbesondere die Wurzel einer jeden Primzahl ist irrational.
Wenn dann eine Zahl irrational ist, hat sie automatisch unendlich viele Nachkommastellen.
Bei endlich vielen ließe sie sich ja als Dezimalbruch darstellen.
Bei einer periodischen Dezimalbruchentwicklung kann man sie als geometrische Reihe darstellen, die beweisbar rational ist.
Die Herausforderung ist bei periodischen Dezimalbrüchen, dass die Periode sehr lang sein kann und man sie dann nicht direkt erkennt. Beispielsweise sieht man der Zahl 0.0000000001676488632099999999983235113679... ihre Periodizität nicht an. Sie ist aber eine rationale Zahl, darstellbar als 1/5964848081.
mmhh. Das Zahlen nicht 'enden' gibt es bereits in der rationalen Menge.
z.B: 1/3
Bei Irrationalen kommt noch hinzu, dass keinerlei Gesetzmäßigkeit (zumindest bislang bekannte) der Ziffernabfolge (in die Unendlichkeit) vorhanden ist.
Hier mal ein Schmöker über Pi
Die Zahl Pi könnte normal sein und das ist definitiv nicht normal! – Astrodicticum Simplex (scienceblogs.de)
Abgenommen eine irrationale Zahl x endet irgendwann:
x = 3.14159265
Dann kann ich das schreiben als
Das ist aber eine rationale Zahl . Widerspruch.
Ganz einfach daran, dass es eine irrationale
Zahl ist. Die haben alle unendlich viele Nachkommastellen.
ALLE irrationalen Zahlen haben unendlich viele Nachkommastellen.
Dankeeeeeschööööön das hilft sehr weiter:D