In einem n-Eck mit unterschiedlich großen innenwinkel die alle kleiner sind als 180° ist die Summe von n-1 innenwinkel 2017° wie groß ist n?
3 Antworten
Die Winkelsumme in einem n-Eck ist 180°(n-2).
→ 180(n-1-2) = 2017 → nach n auflösen → n = 14,2
15-Eck: 2340 — 14-Eck: 2160° — 13-Eck: 1980°
Da der letzte Winkel, der in 2017° nicht enthalten ist und dieser kleiner als 180 ist, kann es sich nur um ein 14-Eck handeln (der letzte Winkel ist 2160-2017= 143°).
Das 13-Eck scheidet aus (nur 1980°); das 15-Eck ebenfalls, da der fehlende Winkel 323° ist, also zu groß.
Die Summe der Winkel eines Vielecks sind immer ein Vielfaches von 180.
Also teile ich 2017 durch 180
2017 : 180 = 11,2055...
die ganze Zahl des Quotienten ist 11, also
11*180 =1980
soviel Grad ist die Winkelsumme in einem (11 -2) Neuneck.
Wir müssen also ein Zehneck haben da die Summe größer als 1980 ist.
Ein Zehneck hat 12 * 180 = 2160
der Winkel dessen Größe wir suchen ist:
2160 - 2017 = 143°
Siehe auch Erläuterungen dazu, von SlowPhil
LG,
Heni
Oh! da habe ich den Text nicht aufmerksam gelesen und danach habe ich anstatt zu dem Quotient 2 zu addieren, noch abgezogen.
2160 /180 = 12, also das n-Eck hat 12+2 = 14 Seiten!
Danke für den Hinweis!
Winkelsumme 2017° - das ist nur möglich, wenn das n-Eck kein ebenes ist oder sich auf einer gekrümmten Fläche befindet.
Bei einem ebenen n-Eck in einer Euklidischen Ebene wächst die Winkelsumme mit jeder Ecke um 180°, unabhängig davon, wie unterschiedlich die einzelnen Winkel sind.
Das kann man sich an einem Dreieck klar machen. Seine Winkelsumme ist 180°. Fasst man willkürlich einen Randpunkt als Eckpunkt mit Winkel 180° auf, bekommt man schon mal 360° und so fort.
Beim Neuneck kommt man auf 1980° (1980/180 – 2 = 11 – 2 = 9), beim Zehneck also 2160°. Das Neuneck ist also näher dran.
Winkelsumme 2017° - das ist nur möglich, wenn das n-Eck kein ebenes ist oder sich auf einer gekrümmten Fläche befindet.
2017° ist die Summe von nur (n-1) Innenwinkeln. Einer fehlt. Die gesamte Winkelsumme muss größer sein, hier 12·180°=2160°.
Beim Neuneck kommt man auf 1980°
Ein Dreieck hat die Innenwinkelsumme (3-2)·180°, ein Neuneck (9-2)·180°=1260°. Obige 2160° gehören zu einem 14-Eck.
Da habe ich wohl falsch herum gerechnet. Peinlich!
Die Moral von der Geschicht': Veröffentliche nie eine Rechnung, die Du im Zustand fortgeschrittener Müdigkeit gemacht hast.
… und die näher dran liegenden 1980° zu einem 13-Eck. Heißt: 2017° Innenwinkelsumme ist entweder ein 13-Eck auf einer leicht positiv gekrümmten (z.B. Kugel) oder ein 14-Eck auf einer etwas stärker negativ gekrümmten Fläche (z.B. Tuba), jeweils aus geodätischen Linien.
Zustand fortgeschrittener Müdigkeit
Aha, so nennst Du das also.
Ich sage nur: "DON'T DRINK AND DERIVE!" :-)
... oder ein 13½-Eck in einem Treppenhaus von M. C. Escher.
Hätte ich gesoffen, hätte ich das auch gesagt. Ich habe seit gut 1½ Jahren Äthanol allenfalls noch gegessen (auf einem Dessert beispielsweise) bzw. in Spuren getrunken (alkfreies Bier).
Mir sind tatsächlich die Augen zugefallen, außerdem habe ich mich nicht so richtig konzentrieren können.
Da kan man die Innenwinkel in der Tat nicht gut abschätzen.
Gesucht ist kein Winkel, sondern n=14.