Grenzwert von Wurzelbruchfolge?

Habs mit lhospital versucht, aber die ableitungen sind zu kompliziert

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

de l'Hospital ist hier wenig zielführend.

Klammere erst einmal n² aus:

[n²*Wurzel (9n²+12)-3n]/[n²*(2/n-5/n²)]

Nun kannst Du durch n² kürzen.

Es bleibt [Wurzel (9n²+12)-3n]/(2/n-5/n²)

Nun erweiterst Du Zähler und Nenner mit Wurzel (9n²+12)+3n, so daß die Wurzel im Zähler verschwindet (3. binomische Formel):

(9n²+12-9n²)/[(2/n-5/n²)*(Wurzel (9n²+12)+3n], wobei im Zähler nur eine 12 bleibt, denn 9n²-9n² hebt sich auf.

Im Nenner ziehst Du 9n² aus der Wurzel:

3n*(Wurzel (1+12/(9n²))+1)*(2/n-5/n²)=(6-15/n)*(Wurzel (1+12/(9n²))+1)

Wenn n gegen unendlich geht, gehen 15/n und 12/9n² gegen Null.

Es bleibt im Zähler die 12 und im Nenner 6*(Wurzel (1)+1

12/[6*Wurzel (1)+1]=12/[6*(1+1)]=12/12=1

Grenzwert für n gegen unendlich und damit Grenzwert der Folge ist also 1.

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[besterehrenmann]

danke vielmals, darauf bin ich tat schon vor ner viertel stunde selbst gekommen. Ich grübel jz über den Konvergenznachweis. Kannst du mir da auf die sprünge helfen? Das epsilon-krit ist hier ein bissl unangebracht, das sandwichkrit nicht weniger

[Willy1729]

@besterehrenmann

Da bin ich überfragt. Ich weiß aber nicht, wieso man noch groß die Konvergenz beweisen muß, wenn man den Grenzwert bereits berechnet hat.

[eddiefox]

@Willy1729

Hallo Willy,

den Beweis mit der ε-Definition der Konvergenz einer Zahlenfolge zu führen wird in der Analysis gerne verlangt, damit die Studenten lernen, mit dieser Definition zu arbeiten und ein Gefühl dafür bekommen, wie sie funktioniert.

Dies ist dann die eigentliche Aufgabe.
Den Grenzwert zu bestimmen ist dabei mehr ein Beiwerk.

Eine ähnliche Aufgabe hatte besterehrenmann hier schon reingestellt, auch mit der Auflage, den Beweis mit der "Epsilontik" zu führen.

Gruß

[eddiefox]

@eddiefox

Das epsilon-krit ist hier ein bissl unangebracht,...

Sorry, ich habe unaufmerksam gelesen. Anscheinend muss er den Beweis hier nicht mit der ε-Definition machen.

Answer 2

[Phleppse]

Sieht so aus, als würde sie selbst mit L'Hospital nicht konvergieren.

Der Ableitungsquotient sieht folgendermaßen aus:

$a_n=\frac{\frac{54n^5+48n^3}{2\sqrt{9n^6+12n^4}}-9n^2}{2}$

Die Folge konvergiert also nicht nach dem L'Hospital-Kriterium.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Naturwissenschaftler mit Mathematikaffinität

Comments

[Halbrecht]

Wenn sie nicht nach  dem L'Hospital-Kriterium konvergiert , heißt das auch , daß sie gar nicht konvergiert ,weil Antworter Willy1729 einen Grenzwert ( 1 ) festgestellt hat.