Gebrochen-rationale Funktion Schnittpunkt?
Hallo, Es geht um folgende gebrochen-rationale Funktionen: f(x)= 4 / x^2 und g(x)=2- (x^2 / 4) Die beiden Funktionen sollen überprüft werden, ob Berührpunkte vorliegen. Darum muss ich die beiden Funktionen gleichsetzen, doch bin ich leider nicht in der Lage die beiden Funktionen vernünftig nach x umzustellen, womit ich um Lösungsansätze bitte.
3 Antworten
g(x) ist "nur" eine Parabel; g(x)=-1/4x²+2
einfach gleichsetzen und umstellen...
f(x)=g(x)
4/x²=-1/4x²+2 |*x²
4=-1/4x^4+2x² |-4
-1/4x^4+2x²-4=0 |*-4
x^4-8x²+16=0 |substituieren: z=x²
z²-8z+16=0 |pq-Formel
z1,2=4+-Wurzel(16-16)=4
re-substituieren: z=x² => x²=4 => x=+-2
Die Schnittstellen liegen bei x1=2 und x2=-2
Gleichsetzen und nach `x` freistellen. Tipp: Erstmal `y = x^2` setzen, dann Lösungen für `y` suchen, und ganz am Schluss dann aus den Lösungen die Wurzel ziehen, um die Lösungen für `x` zubekommen.
f(x)=g(x)
4/x²=2-(x²/4) | *x²
4=2x²-(x^4/4) | *4
16=8x²-x^4 | -16
0=-x^4+8x²-16 |*(-1)
x^4-8x²+16=0
Es folgt die Substitution: x²=z
z²-8z+16=0 | P/Q-Formel
z1=4
z2=4
Es folgt die Rücksubstitution:
Da z=x², gilt auch x²=4 | Wurzel
x=+-2
Der x-Wert der Schnittstellen ist also einmal +2 und einmal -2.
Die beiden Funktionen schneiden sich bei S1(-2|-1) und S2(2|1)