Unten links muss es in der dritten Zeile -30, nicht +30 heißen (-43-13*(-1)=-30)

a) Die Höhe des Streifens (messen!) entspricht 42 %. Du musst nun ausrechnen, wieviel cm 100 % entsprechen.

b) Berechne das Rechteck (Breite und Höhe messen und multiplizieren). Diese Fläche entspricht 72 %. Gefragt ist wieder nach 100 %.

Beim zweiten hast Du beim Einsetzen die x- und y-Werte vertauscht, d. h. oben muss es E/P2 und unten E/P1 heißen, dann kommt auch dasselbe raus wie bei deiner ersten Variante.

Oben drüber steht die Funktionsgleichung allgemein in der Form f(x)=1/(x-b).

Das b gibt die Verschiebung in x-Richtung an gegenüber der "Standard-Hyperbel" f(x)=1/x.

D. h. bei a) f(x)=1/(x-3) gilt einfach nur b=3, d. h. diese Funktion ist gegenüber f(x)=1/x um 3 Einheiten nach rechts verschoben. D. h. zudem, dass das b auch die senkrechte Asymptote angibt.

Allgemein gilt: mit f(x-b) wird eine Funktion f(x) um b Einheiten in x-Richtung verschoben - bei positivem b nach rechts, bei negativem nach links [d. h. bei Aufgabe c) wurde die Hyperbel 1/x um 3 Einheiten nach links verschoben: f(x)=1/(x-(-3))=1/(x+3)]

Zuerst zeichnest Du die 3 Äste für die drei Kugeln aus Behälter A und von da jeweils abgehend die 4 Äste für die Kugeln aus Behälter B.

Du konntest z. B. auf 4/10 kürzen, weil r=400 bei insgesamt 1.000 Kugeln war. Jetzt ist r aber nicht genau bekannt, d. h. Du musst r/1000 stehen lassen und nicht r/10.

Entsprechend musst Du im Folgenden im Zähler bzgl. der weißen Kugeln die unbekannte Anzahl roter Kugeln von 1000 abziehen, also (1000-r)/1000 rechnen und nicht (10-r)/10 !

Stimmen links- und rechtsseitiger Grenzwert an einer Stelle x0 mit dem Funktionswert an dieser Stelle überein, dann ist die Funktion dort "allgemeingültig" stetig (also durchgehend über diesen Punkt hinaus).

Stimmt nur einer der Grenzwerte mit dem Funktionswert an dieser Stelle x0 überein, dann ist auch nur dieser Teil bis zu dieser Stelle stetig. Danach macht die Funktion einen Sprung auf den Grenzwert der "anderen Seite".

Beispiel: f(x)=1 für x<=0 und f(x)=2 für x>0.

x0=0 => l-lim x->0 f(x)=1; r-lim x->0 f(x)=2; f(0)=1=l-lim => f ist linksseitig stetig an der Stelle x0=0. (danach macht der Graph einen Sprung von y=1 auf y=2)

Zuerst "zerlegst" Du beide Nenner in seine einzelnen Faktoren. Der Hauptnenner ist dann die "Vereinigungsmenge" dieser Faktoren, d. h. Du musst den ersten Bruch mit den Faktoren erweitern die der andere Nenner zusätzlich hat, und den zweiten Bruch mit den Faktoren, die der zweite Nenner gegenüber dem ersten nicht hat. (Vereinigungsmenge ist hier mathematisch falsch ausgedrückt - aber ich hoffe Du verstehst so besser was gemeint ist...)

Beispiel:

b1) hier hast Du links den Nenner 4b, das ist "komplett zerlegt" = 2 * 2 * b; rechts der Nenner lautet 2b², also =2 * b * b.
D. h. im linken Nenner fehlt gegenüber dem rechten einmal der Faktor b, und beim rechten fehlt gegenüber dem linken einmal der Faktor 2, d. h., wenn Du den ersten Bruch nun mit b erweiterst und den zweiten Bruch mit 2, dann lauten beide Nenner 2*2*b*b, also 4b². Dies ist dann der Hauptnenner.

Das Beispiel im Buch ist vielleicht etwas schwer nachvollziehbar, weil da "plötzlich" links mit (a-2) erweitert wurde. Das liegt daran, dass im rechten Nenner (a²-4) steht und das (3. binomische Formel) gleich (a+2)*(a-2) ist.

weiteres Beispiel:

b4) linker Nenner: 10x+10=10(x+1)=2*5*(x+1)
rechter Nenner: 5x²-5=5(x²-1)=5*(x+1)*(x-1) [wieder 3. binom. Formel]
D. h. hier musst Du den linken Bruch mit (x-1) erweitern, und den rechten mit 2. Somit ergibt sich als Hauptnenner: 2*5*(x+1)*(x-1)=10(x²-1).

Zuerst einmal sollt ihr ja den Flugkurs einzeichnen. Der Startpunkt B der Beobachtung ist schon eingezeichnet, fehlt nur noch der Richtungsvektor...

Wie ihr an den Einheiteneinteilungen erkennen könnt, entspricht ein diagonales Kästchen auf der x1-Achse 200 Einheiten, in x2- und x3-Richtung entspricht eine Kästchenbreite/-höhe 100 Einheiten. Ihr müsst nun von Punkt B aus den Vektor (50 -50 -25) abtragen. Nur sind diese Einheiten in den entsprechenden Richtungen bei diesen Achseneinteilungen äußerst ungenau. Da es von B aus aber mit "allen möglichen" Vielfachen dieses Vektors weggeht, macht es für den nächsten Punkt Sinn diesen Vektor mit 2 zu multiplizieren, d. h. ihr geht von B aus den Vektor (100 -100 -50) weiter, also ein halbes diagonales Kästchen nach vorne links in x1-Richtung, dann ein Kästchen nach links und ein halbes nach unten. Durch diesen zweiten Punkt zieht ihr dann die Gerade von B aus durch.

Die Geradengleichung lautet "einfach":

g: x=(-1100 1200 500) + r (50 -50 -25)

Jetzt müsst ihr prüfen, ob L ein Punkt dieser Geraden ist, also die Geradengleichung mit L gleichsetzen und für jede der 3 Koordinaten eine eigene Gleichung aufstellen und jeweils nach r auflösen. Kommt bei allen das gleiche r raus, dann liegt L auf dieser Geraden, was hier aber nicht der Fall sein wird...

Um den tatsächlichen Landepunkt P zu ermitteln, müsst ihr die x3-Koordinate der Geradengleichung gleich Null setzen und das r ermitteln. Dieses r dann in g einsetzen und so den tatsächlichen Landepunkt P ermitteln.

Zuletzt muss nun noch die Entfernung zwischen L und P ermittelt werden, d. h. ihr müsst die Länge der Geraden L-P (oder P-L, das ist natürlich egal) ermitteln und prüfen, ob diese Länge (ist in Metern) innerhalb der 20m-Toleranz liegt.

a) Die "Formel" für die bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) lautet:

P_A(B)=P(A n B)/P(A)

Der Zähler entspricht der Wahrscheinlichkeit der inneren Zelle (A und B), also hier 60/400 und der Nenner der Summenzelle von A, also 150/400, ergibt (60/400)/(150/400)=60/150=2/5 und P(B) ist 200/400=1/2.

Bei stochastischer Unabhängigkeit müssten beide Werte gleich sein, denn unabhängig bedeutet ja, es ist egal was zuerst passiert (A oder A-Strich), die Wahrscheinlichkeit für B ist gleich. Und das ist hier nicht der Fall.

b) bei stochastischer Unabhängigkeit gilt: P(A n B)=P(A)*P(B), also hier:

60/400=150/400*200/400

3/20=3/8*1/2

3/20=3/16, was offensichtlich nicht stimmt, somit sind A und B stochastisch abhängig.

Am Baumdiagramm erkennst Du die stochastische Unabhängigkeit daran, dass die Äste von A nach B und A-Strich nach B dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, d. h. P_A(B)=P_A-Strich(B)=P(B). Dies hast Du mit der Rechnung bei a) geprüft/widerlegt.

Und da bei stochastischer Unabhängigkeit gilt, dass der Ast von A nach B (also P_A(B)) der Wahrscheinlichkeit von B (also P(B)) entspricht, dann muss laut der Multiplikationsregel für diesen Pfad (A/B) gelten (vorderer Ast mal hinterer Ast)=P(A)*P(B). Dies hast Du bei b) geprüft/widerlegt.

Das ist nunmal so als Aufgabe angegeben, d. h. es kommen nicht nur die ganzen Zahlen von -6 bis 6 in Frage bzgl. x²<=36, sondern alle Zahlen von -6 bis 6.

D. h. Du gibst nun keine einzelnen Elemente in geschweiften Klammern an bzgl. der jeweiligen, zu vereinenden Mengen, sondern Intervalle mit eckigen Klammern (da ist nun die Frage, von wo bis wo die beiden zu vereinenden Intervalle gehen, und ob sie offen, halboffen oder geschlossen sein müssen).

Nachtrag:

b) ist nicht korrekt: bei [-3;3] setzt man ebenfalls die reellen Zahlen an, wenn nichts vorgegeben ist. D. h. hier ist die Lösung "alle Zahlen von -3 bis 3 plus der 4 (die Zahlen -1 und 2 sind ja schon in dem Intervall enthalten), also: = [-3;3] n {4}

Um das Volumen oder die Oberfläche einer Kugel berechnen zu können benötigst Du nur den Radius der Kugel. Die Formeln stehen jeweils über den Aufgaben in den gelben Kästchen.

Bei den jeweiligen Aufgaben Nr. 1 sind die Radien angegeben, d. h. Du brauchst nur das r in der Formel durch diese Radien ersetzen und das dann mit dem Taschenrechner ausrechnen.

Bei den Aufgaben Nr. 2 und 3 musst Du etwas aufpassen. Da sind die Durchmesser der Kugeln angegeben. Der Durchmesser ist das doppelte vom Radius. D. h. Du musst erst d durch 2 teilen und erhältst so den benötigten Radius r, den Du nun wieder einfach einsetzen kannst.

Wenn die Ursprungsfunktion als Bruch angegeben ist, also f(x)=(x²+4)/(2x-3), dann würden wohl die wenigsten das zuerst per Polynomdivision in f(x)=1/2x+3/4+... umwandeln und dann die einzelnen Summanden mit der Potenzregel (samt Kettenregel im letzen Summanden) ableiten, sondern (wie Du) direkt die Quotientenregel nehmen wie bei der Alternativlösung gezeigt.

Wieder andere (z. B. ich) würden den Bruch umschreiben in (x²+4)*(2x-3)^(-1) und die Produktregel anwenden (samt Kettenregel beim hinteren Faktor), weil die Quotientenregel bei vielen (mir) nicht sonderlich beliebt ist.

Aber egal wie, es wird (natürlich) immer auf dasselbe hinauslaufen, nur sieht der Term des ersten Lösungswegs wegen der Polynomdivision etwas anders aus.

Die Kontrolle der Randwerte bzgl. der maximalen Steigung ist daher nötig, weil sich dort zwar laut Rechnung keine Wendestellen befindet, trotzdem kann dort die Steigung stärker ausfallen als am errechneten Wendepunkt. Die Funktion könnte ja theoretisch bei t=0 stark steigend beginnen (Aufgabenbezogen: z. B. Neueröffnung/Sonderevent, daher extrem starker Menschenandrang zu Beginn).

Bei f'(6) hast Du ja sogar tatsächlich betraglich eine stärkere Steigung als am Wendepunkt, d. h. dort ist die stärkste (negative) Änderung, trotzdem taucht diese Stelle in der Berechnung der stärksten Steigung nicht auf!

Es stehen 2.100,- € zur Verfügung, also 21,- € je Headset. 0,58 € (=58/100) fallen an Bezugsspesen je Stück an, d. h. die Kosten der Headsets dürfen maximal 21-0,58 € = 20,42 € betragen - nach Abzug der Rabatte. D. h. diese 20,42 € entsprechen dem Preis, nachdem 8 % und 4 % vom gesuchten Listenpreis abgezogen wurden.

Je nachdem wie ihr das rechnet, setzt Du zuerst die 20,42 € = 92 % und rechnest 100 % aus (z. B. Dreisatz) und dieser Betrag entspricht dann 96 % und Du rechnest davon dann 100 % aus. Dies ist der maximal "erlaubte" Listenpreis, um die 2.100,- € Budget nicht zu übersteigen.

In "Kurzform" würde man 20,42/0,92 und das dann /0,96 rechnen, ergibt 23,12 €/Stück.

Probe: 23,12 € ./. 8 % = 21,27 €; 21,27 € ./. 4 % = 20,42 €; 20,42 € * 100 = 2.042 €; 2.042 € + 58,- € Fracht = 2.100,- €

Du setzt die Werte falsch ein und beachtest das Minuszeichen vor x² nicht!

f(x)=-x² => f(1+a)=-(1+a)², d. h. bei Dir fehlt das Minuszeichen davor und f(1)=-(1)², nicht (-1)², das Minus gehört nicht zur Potenz!

d. h. im Zähler steht nach dem Einsetzen: -(1+a)²-[-(1)²]=-(1+a)²+1

Stelle zuerst die Tangentengleichung für die Stelle u auf:

t(x)=f'(u)*(x-u)+f(u)

Da jetzt die entsprechenden Werte/Terme einsetzen, ausmultiplizieren und in die Form y=mx+b bringen. Der y-Achsenabschnitt b ist von u abhängig, d. h. 'b(u)' ist quasi Deine "y-Achsenabschnittsfunktion". Davon berechnest Du nun das absolute Maximum im Bereich von -2 bis 1.

Funktionen, egal ob ganzrational, gebrochenrational, trigonometrisch, usw. werden alle auf die gleiche Weise "transformiert".

Eine Spiegelung an der x-Achse wird erreicht, indem man den kompletten Funktionsterm mit -1 multipliziert. Damit wechseln alle Funktionswerte ihr Vorzeichen und somit "die Seite" der x-Achse von oben nach unten und umgekehrt.

Eine Spiegelung an der y-Achse erreichst Du, wenn Du jedes x des Funktionsterms durch -x ersetzt. Damit wechseln die Punkte des Graphen ihre Position von links der y-Achse nach rechts und umgekehrt.

Eine Streckung/Stauchung mit Streckungsfaktor a in y-Richtung wird erreicht, wenn der gesamte Funktionsterm mit diesem Faktor multipliziert wird. Ist a>1, dann ziehst sich der Graph in y-Richtung in die Länge (nur die Nullstellen bleiben wo sie sind), liegt a zwischen 0 und 1, dann wird der Graph Richtung x-Achse zusammengedrückt.

Ein Graph wird in y-Richtung um d Einheiten verschoben, indem man den Term einfach mit d addiert. Damit erhöht/verringert sich jeder Funktionswert um genau diese Einheit d der senkrechten Verschiebung.

Eine Verschiebung um d Einheiten in x-Richtung wird erreicht, indem man jedes x des Funktionsterms durch (x-d) ersetzt, d. h. soll z.B. um 2 Einheiten nach links verschoben werden, also d=-2, dann muss man x durch (x-(-2))=(x+2) ersetzen. D. h. es gilt für die transformierte Funktion t: t(x)=f(x+2), d. h. der Funktionswert t(2) taucht bei f erst bei f(2+2)=f(4) auf, also 2 Einheiten weiter rechts, d. h. t hat die gleichen y-Werte 2 Einheiten weiter links.

13a) korrekt: der Ortsvektor/Stützvektor, also Dein "Startpunkt" auf der x3-Achse muss ein beliebiger Punkt mit x1=x2=0 sein, sonst wäre es ja kein Punkt auf der x3-Achse. Und damit Du anschließend auf dieser Achse bleibst, darf es nicht in x1- oder x2-, sondern nur in x3-Richtung weitergehen. In welcher "Schrittlänge" je r ist egal, d. h. x3 des Richtungsvektors kann beliebig gewählt werden.

b) falsch: wählst Du als Ortsvektor einen Punkt der nicht auf der x3-Achse liegt, dann liegt auch eine von dort startende Gerade nicht darauf. Je nach Richtungsvektor wird die x3-Achse höchstens mal geschnitten.

c) das gilt nur für diesen Fall, in dem bei g der Ortsvektor der Nullvektor (0 0 0) ist und beim Richtungsvektor 2 Koordinaten Null sind. Wäre z. B. g=(0 1 0)+r(0 0 1), dann liegt ein Vielfaches vom Richtungsvektor als Ortsvektor, z. B. (0 0 2), nicht mehr auf g, denn bei diesem g haben alle x2-Koordinaten den Wert 1, d. h. (0 0 2) gehört nicht dazu.

14) die beiden Schnittpunkte von h und i ablesen und daraus deren Geraden bilden (1 Punkt der jeweiligen Geraden nimmst Du als Ortsvektor, die Differenz beider Punkte als Richtungsvektor), und auch die Gerade g_a; wähle dabei für den variablen Parameter vor dem Richtungsvektor jeweils andere Buchstaben, z. B. r, s und t.

a) h und g_a gleichsetzen, für jede der 3 Koordinaten x1, x2 und x3 eine Gleichung bilden; mit den Gleichungen für x1 und x2 die variablen Parameter bestimmen, und diese dann in die Gleichung für x3 einsetzen und das a ausrechnen.

b) mit i und g_a wie bei a) vorgehen: nur berechnest Du nun mit den beiden ermittelten Parametern in Gleichung x3 das a, und wirst einen Wert erhalten, der nicht im Bereich des Würfels liegt, also nicht zwischen 0 und 2, d. h. mit diesem a würden sich zwar i und g schneiden, aber g schneidet dann nicht die senkrechte Kante vorne rechts des Würfels.

Wenn es generell darum geht, dass man eine (beliebige) Straße/Brücke durch eine lineare Funktion beschreiben kann (und nicht etwa aufgrund einer uns unbekannten Beschreibung einer bestimmten Straße/Brücke), dann ist das falsch, sowohl was die Steigung angeht als auch die Sicht aus der Vogelperspektive. Straßen/Brücken verlaufen nicht immer gerade und die Steigung ist auch nicht immer gleichmäßig.