Gaußsche Summenformel für ungerade Zahlen beweisen?
Hey ihr Lieben,
Ich verstehe folgende Aufgabe nicht ( Sie Bild Aufgabe a) Die angegebene Lösung dazu kann ich absolut nicht nachvollziehen.Ich wäre super dankbar, wenn sich jmd die Zeit nehmen würde und es mir erklären könnte. Danke schon mal im vorraus:)
3 Antworten
Für ungerade m haben die sich damit beholfen, dass sie den mittleren Wert erstmal weggelassen haben. Dann hat man eine gerade Zahl von Werten und kann den normalen (Gaußschen) Trick anwenden. Zum Schluss wird der weggelassene Wert addiert.
Also wenn m ungerade ist, dann ist der mittlere Wert (m - 1)/2 + 1 und wird erstmal weggelassen:
1 + 2 + ... + (m - 1)/2 +
m + (m - 1) + ... + ((m - 1)/2 + 2)
Man hat jetzt ((m - 1)/2) mal (m + 1).
wenn man jetzt den weggelassenen Wert (m - 1)/2 + 1 addiert, dann hat
man (m - 1)/2 * (m + 1) + ((m - 1)/2 + 1)
Da klammern wir erstmal 1/2 aus:
1/2 * ((m - 1) * (m + 1) + ((m - 1) + 2))
1/2 * ((m - 1) * (m + 1) + (m + 1))
und jetzt (m + 1) ausklammern
1/2 * (m + 1)(m - 1 + 1)
(m + 1) * m / 2
Was mir unklar ist: Warum macht man das eigentlich so umständlich?
Man kann (egal ob m gerade oder ungerade ist), schreiben:
1 + 2 + ... + (m - 1) + m
m + (m - 1) + ... + 2 + 1
Das ist (m + 1) * m. Weil wir alle Zahlen doppelt genommen haben, müssen wir noch durch 2 teilen: (m + 1) * m / 2.
Machen wir mal ein Beispiel: m = 11
Der mittlere Wert ist (m - 1)/2 + 1 = 6, der wird weggelassen.
Dann haben wir
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +
11 + 10 + 9 + 8 + 7 =
12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 60 = ((m - 1)/2) * (m + 1)
Dazu wird noch die weggelassene 6 addiert.
60 + 6 = 66 = (m + 1) * m / 2
Die angegebene Lösung ist auch in meinen Augen schlecht aufgeschrieben. Diese bekannte Gaußsche Summenbildung geht enthält ja eine Umgruppierung der Zahlen z.B. von
1 + 2 + .... + 100 in
(1 + 100) + (2 + 99) + .. (50 + 51)
Und genau das macht die Lösung auch, schreibt aber die Paare, die immer das gleiche Ergebnis liefern (m+1) , sehr unglücklich untereinander.
Hallo,
die Summe der ungeraden Zahlen?
1=1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
Fällt Dir an den Ergebnissen 1; 4; 9; 16; 25... irgendetwas auf?
Herzliche Grüße,
Willy
Die Summe ist immer durch die Anzahl der Zahlen teilbar. Also 4 durch 2,9durch 3, 16 durch 4, 25 durch 5. Also es sind die Potenzen
Danke. Die unter Erklärung erscheint für mich viel eher nachvollziehbar. Aber die Sache ist, dass diese Erklärung ja die allgemeine Summenformel für Gauß erklärt, nicht aber explizit für ungerade m. Ehrlich gesagt, verstehe ich nicht wie man auf den mittleren Teil kommt, warum man den am anfang weglässt und später dann wieder hinzuaddiert