Ersatzfunktion bei gebrochen rationalen Funktionen?
Hallo, wenn man bei einer gebrochen rationalen Funktion eine Ersatzfunktion bilden kann, dann muss ja der Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion beibehalten werden. Aber kann man denn generell mit der EF weiterrechnen, z.B. Ableitungen bilden? Und kann man eine EF denn immer bilden, wenn die Definitionslücken im Zähler 0 ergeben?
3 Antworten
Der Trick ist, dass du für die Lücken die andere Funktion definierst und dann beide als Gesamtbild beschreibst. Etwa in dieser Art:
f(x) = (x² - 1) / (x + 1) mit |D = |R \ { - 1 }
f(x) = x - 1 für x = - 1
Übrigens ist es der Nenner, der nicht Null werden darf.
Per Polynomdivision kannst du immer eine Ersatzfunktion bilden, wenn der Grad der Zählerfunktion mindestens so groß ist wie der Grad der Nennerfunktion, z.B.
(x³ - 1) / ( x² +1) = x - (x+1) / ( x² +1),
d.h. auch dann, wenn es überhaupt keine Definitionlücken gibt. Du kannst eine gesamte Kurvendiskussion mit der EF durchführen; z.B. ist im Beispiel mit der EF schneller zu erkennen, dass y = x eine schräge Asymptote der gegebenen Funktion ist.
Wenn Definitionslücken in Zähler oder Nenner der Ausgangsfunktion auftreten, ist das bei der Angabe des Ergebnisses eben zu beachten und z.B. der Definitionsbereich der Ableitungen entsprechend einzuschränken.
Bei einer Ersatzfunktion handelt es sich darum, dass zu zwei verschiedenen definierten funktionalen Ausdrücken der gleiche Graph auf dem angegebenen definitionsbereich existieren kann.
Auf dem Definitionsbereich der urpsürnglichen Funktion kannst du daher ohne Probleme mit der Ersatzfunktion zur Bildung von Ableitungen erster Ordnung weitterrechnen, sofern die Ersatzfunktion die Differenzierbarkeitseigenschaft besitzt.
VG, dongodongo.