Binominalkoeffizient beweis mit VI?

In den beiden Screenshots habe ich mein Problem geschildert. Falls jemand eine Idee hat, wie ich den Induktionschritt anstellen kann, freue ich mich über Lösungsansätze. Ich bin noch nicht so sicher mit dem Summenzeichen. Danke im Voraus.

Comments

[evtldocha]

Ist der Beweis per Induktion zwingend vorausgesetzt?

[Pete4712]

Nein, ist es nicht.

Answer 1

[evtldocha]

Falls der Beweis nicht durch vollständige Induktion erbracht werden muss und die allgemeine binomische Formel vorausgesetzt werden kann, dann:

$\left(x+y\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot x^{n-k}\cdot y^k$

Und nun setze x=1 und y=1.

$\left(1+1\right)^n=2^n$

und rechts stehen - bis auf die Binomialkoeffizienten - nur Produkte von Potenzen von "1", was immer eine 1 ergibt.

$2^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\cdot1^k=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1\cdot1\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$

Comments

[Pete4712]

Wow danke 😍 sehr schöne Lösung

Answer 2

[eterneladam]

Beim Induktionsschritt nutzt du

(n+1 über k) = (n über k-1) + (n über k),

Wobei man am den Summengrenzen aufpassen muss.