Binomialverteilung/Bernoulli-Experiment?
Aufgabenstellung: Eine Münze wird 20-mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt sie b) höchstens 10-mal c) mehr als 11-mal auf Kopf?
a) und c) konnte ich selber lösen jedoch häng ich bei b) und c)
Bitte Lösungsweg ausführlich beschreiben und begründen. MfG
1 Antwort
Prinzip:
Bei solchen Formulierungen wie "höchstens", "mindestens", "mehr als" "weniger als" muss man sich überlegen: Welche Ereignisse schließt das ein?
"Höchstens 10" schließt alles von 0 bis 10 Erfolgen ein. Das heißt, dass das dann erfüllt ist, wenn man entweder 0 Erfolge hat, oder 1, oder 2, oder 3 usw.
Das heißt:
P (höchstens 10 Erfolge) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) usw. bis P (10).
Diese Einzelwahrscheinlichkeiten kannst du ja ausrechnen und dann addieren.
Und genauso muss man bei der c vorgehen: "Mehr als 11 Mal" heißt ja:
P (mehr als 11) = P (12) + P (13) + P (14) usw. bis + P (20).
Zusatz: Man kann sich das auch leichter machen.
Komplementärereignis:
Bei solchen Formulierungen wie "höchstens", "mindestens", "Mehr als" usw. sollte man auch überlegen, ob das Komplementärereignis nicht leichter zu berechnen ist.
Beispiel: "Höchstens 18 Erfolge":
Da könnte man entweder das so rechnen: P (höchstens 18) = P (0) + P (1) + P (2) ...... usw bis + P (18).
Oder man rechnet die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignis, also P (mehr als 18) aus. Das ist ja P (mehr als 18) = P (19) + P (20). Das ist ja mit viel weniger Rechenaufwand verbunden.
Da eins von beiden ja passieren MUSS (entweder hat man höchstens 18 Erfolge oder mehr als 18 Erfolge) gilt:
P (höchstens 18) + P (mehr als 18) = 1.
Wenn du das Komplementärereignis P (mehr als 18) berechnet hast, kannst du diese Gleichung auch umformen:
P (höchstens 18) = 1 - P (mehr als 18). Und das wäre wahrscheinlich leichter zu rechnen, als P (1) + P (2) usw. bis hoch zu P (18) einzeln auszurechnen und zu addieren (man kann dafür beim Taschenrechner aber auch das Summenzeichen verwenden).
Nach diesem Prinzip kann man sich die c) leichter machen.
Gesucht ist ja P (Mehr als 11). Du hast bei der b schon P (höchstens 10).
Das Komplementärereignis zu P (höchstens 10) ist ja P ("mehr als 10") und das kannst du ja leicht berechnen: P (mehr als 10) = 1 - P (höchstens 10).
P (mehr als 10) ist aber noch nicht P (mehr als 11). Was unterscheidet die beiden? In P (mehr als 11) ist noch P(11) drin.
Wenn du also von P (mehr als 10) einfach P (11) abziehst, erhältst du P (mehr als 11).
D.h. P (mehr als 11) = (1- P (höchstens 10)) - P (11)
Ja, da hast du vollkommen recht. Aber bei b) hat man ja schon P (höchstens 10). Und damit hat man ja auch die Gegenwahrscheinlichkeit P (mehr als 10). Und für c) musst du ja P (mehr als 11) berechnen.
Und der UNterschied zwischen P (mehr als 10) und P (mehr als 11) ist ja nur, dass in dem P (mehr als 10) noch P (11) drin steckt. Um die c) zu lösen musst du also nur
P (mehr als 10) - P (11)
rechnen.
Wieso sollte es mit dem Komplementärereignis leichter sein? Wenn ich 20 Würfe hab und ich das Gegenereignis verwende macht das bei "höchstens 10" doch gar keinen unterschied ob ich jetzt ganz normal f(1) + f(2) + f(3) ... f(10) rechne oder mit dem Gegenereignis "mehr als 10" dann währe das ja f(11) + f(12) + f(13)..
Das ist doch der gleiche Rechenaufwand, oder entgeht mir etwas?