Bestimme die Anzahl der Nullstellen?
Hallo , und zwar haben wir im Unterricht eine Aufgabe gerechnet , bei der ich aber nicht verstanden habe wie man auf den letzten Schritt kommt und was genau das bedeutet.
Die Aufgabenstellung : Bestimme die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von t.
[ACHTUNG : dieses t soll so ein kleines t unter f sein]
ft(x)=(1/t)x^2 + 2x tER \ {0}
Wir haben die Funktion gleich 0 gesetzt also :
0=(1/t)x^2 + 2x
und dann ausgeklammert :
0=(1/t)x(x+2t)
dann kommt ja
x1=0 und x2=-2t raus
(Bis hier verstehe ich noch alles )
Aber nicht was das nächste Bedeutet :
Für t>2 keine Nullstellen
Für t=2 eine Nullstelle
Für t<2 zwei Nullstellen
also einmal hab ich also wuasi die Frage , warum da aufeinmal +2 und nicht -2 steht.
und wie man dazu kommt ,dass z.B t>2 keine Nullstellen hat ???
2 Antworten
Wenn das tatsächlich die Funktion ist, dann ist die Schlussfolgerung bzgl. der Anzahl der Nullstellen, abhängig von t falsch. Diese Funktion hat doch gemäß der Lösungen von f(x)=0 immer 2 Nullstellen, nämlich bei x=0 und x=-2t! Ist z. B. t=4 (also t>2 => angeblich keine Nullstelle), dann ist die zweite Nullstelle (neben x=0, die es immer gibt, egal wie groß t ist) bei x=-2*4=-8!
Ich denke einmal, dass wenn der Lehrer das mit euch zusammen gemacht hat, hat er das Absolutglied vergessen (bzw. bei dieser Lösung auch noch das Minus ganz vorne vor 1/t vergessen..., (s. u.)) und ihr habt richtig nach x aufgelöst und dann hat der Lehrer nur noch schnell (Ende der Stunde?) die Musterlösung aus seinen Unterlagen abgelesen und notiert.
Hieße die Funktion f(x)=1/tx²+2x+2, dann gäbe es tatsächlich bei t=2 nur eine Nullstelle. Allerdings gäbe es bei t>2 2 Nullstellen und bei t<2 keine (also "umgekehrt" zur Lösung).
Damit die Musterlösung rauskommt müsste die Funktion f(x)=-1/tx²+2x-2 heißen!!!
Denn:
-1/tx²+2x-2=0 |*(-t)
x²-2tx+2t=0 |pq-Formel
x=t±√(t²-2t)
Jetzt kommt es, wie STORM47 schon geschrieben hat, auf den Term unter der Wurzel an: ist dieser gleich Null, dann gibt es genau eine Lösung/Nullstelle (nämlich nur x=t), ist er kleiner Null, dann gibt es keine Lösung, denn die Wurzel negativer Werte ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Und ist der Term unter der Wurzel größer Null, dann gibt es 2 Lösungen, nämlich x=t+√(...) und x=t-√(...).
Die Formel mit 0 gleichsetzen. Danach Mitternachts oder abc formel einsetzten. Wenn die Diskriminante (Zahl in der Wurzel) kleiner als 0 ist gibt es keine Lösung wenn sie 0 ist gibt es eine Lösung und bei einer zahl größer als 0 gibt es zwei Lösungen. Wenn in der abc Formel das 4ac zum Beispiel insgesamt -2 ist und du zwei Lösungen haben willst musst du für b (in deiner Aufgabe ist es t) eine Zahl einsetzen die mach dem quadrieren größer als 2 ist. Wenn du das nicht verstehst schreib dir die mitternachtsformel auf und Probier die Schritte aus.