Die Anzahl der Nullstellen von f(x) in Abhängigkeit von k?
Hallo ihr lieben :) Ich sitz gerade vor meiner Mathe Hausaufgabe und bin echt am verzweifeln. Gegeben ist die Funktion f(x)=kx^2+2x+k Die Aufgabe ist es, die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von k zu berechnen.
Mein Ansatz ist soweit, dass bei k=0, es schon mal eine Nullstelle gibt, nämlich bei 0. Bei k "nicht-gleich" 0 stehe weiß ich allerdings nicht mehr weiter :D
(vielleicht noch mal unser Beispiel das wir in der Schule behandellt hatten, um meine Frage besser zu verstehen. Da hatten wir die Funktion f(x)=x^2+ax das Ganze haben dir dann zu f(x)=x*(x+a) umgeformt. Nun sollten wir auch hier die Nullstellen in Abhängigkeit von a bestimmen. Bei a=0 gab es wieder eine Nullstelle, nämlich bei (0|0) Bei a "nicht-gleich" 0 gab es zwei Nullstellen, einmal x=0 und dann noch bei x=-a (das konnte man eben schön aus der umgeformten Formel ablesen. Aber bei unserer Hausaufgabe verstehe ich das ganze nicht mehr....)
Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand helfen könnte :)
4 Antworten
Also Suboptimierer hat natürlich bei seiner Antwort vollkommen Recht!
was ich vermute ist, dass du nach reellen Lösungen suchst und nicht nach komplexen.
wie gehst du also vor?
Als erstes solltest du dir die Diskriminante bilden, oder die abc-Formel aufstellen:
x1,2 = (-2 ± sqrt(4-4*k^2))/2k wobei sqrt(4-4*k^2) deine Diskriminante ist.
Nun gilt, ist die Diskriminante
< 0, dann gibt es keine reellen Lösungen (nur komplexe)
= 0 gibt es eine reelle Lösung
größer 0 gibt es 2 reelle Lösungen
Berechnest du deine Diskriminante kommst du darauf, dass für alle k element von [-1,1] reelle Lösungen vorhanden sind. für alle restlichen k existieren keine reellen Nullstellen, nur komplexe.
Hast du das mal in die Mitternachtsformel eingesetzt?
Dann erhältst du unter der Wurzel 4-4k².
Das ist für k = 1 und k = -1 Null -> Die Gleichung hat eine Lösung
Für k = 0 ist 0 die einzige Nullstelle (Gerade, keine Parabel mehr).
Für |k| > 1 hat die Gleichung keine Lösung mehr, da die Term unter der Wurzel negativ wird.
für -1 < k < 1, k != 0 hat die Gleichung 2 Lösungen.
Bei k = 0 gibt es eine Nullstelle. Bei allen anderen ks zwei Nullstellen (oder mehrfache).
Ich schätze aber mal, dass nur reelle Nullstellen gefragt sind, weil sonst die Aufgabe zu trivial ist.
In dem Fall:
kx²+2x+k = 0 |:k k≠0
x² 2/k x + 1 = 0
x1/2 = -1/k ±√(1/k² - 1)
Die Grenze liegt bei 1/k² - 1. Ist dieser Ausdruck 0, gibt es nur eine Nullstelle, ist dieser größer, gibt es zwei Nullstellen, sonst keine. (Du musst das noch nach k umstellen)
k=0 nicht vergessen:
kx²+2x+k = 0 | k=0
2x = 0
x = 0
Eine Nullstelle
k ungleich 0 ; dann können wir durch k teilen; x² + 2/k x + 1 = 0
pq-Formel x = -1/k +- wurzel (1/k² - 1) → x = -1/k +- wurzel ( (1-k²)/k² ) also 1-k²>0
also für k² < 1 gibt es noch 2 Nullstellen mE.