Absoluter und relativer Fehler, was ist mit exaktem Wert gemeint?
In einer Anleitung wird wie folgt beschrieben:
"Der absolute Fehler berechnet sich als Differenz aus gemessenem Wert und dem exakten Wert". Was ist nun mit dem exakten Wert gemeint?
3 Antworten
Hallo Idsilba,
die Formulierung ist unglücklich, denn eine fehlerbehaftete Größe ist gerade nicht exakt.
Gemeint ist der "offizielle" Literaturwert einer Größe X, der irgendwann genauer ermittelt wurde.
Oder man misst mehrfach nach und kann einen Mittelwert
(1) x₀ = (1⁄ₙ)∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ
berechnen. Als den absolute Fehler bezeichnet man üblicherweise die Standardabweichung, die üblicherweise durch
(2.1) σₙ(X) = (1⁄ₙ)∑ᵢ₌₁ⁿ (xᵢ − x₀)²
oder auch durch
(2.2) σₙ₋₁(X) = (1⁄ₙ₋₁)∑ᵢ₌₁ⁿ (xᵢ − x₀)²
definiert. Letzteres bietet besonders bei nur wenigen Messungen den Vorteil, dass man den Fehler nicht unterschätzt. Besonders extrem ist der Unterschied natürlich bei nur einer Messung. σₙ(X) würde dann eine Standardabweichung von 0 liefern, σₙ₋₁(X) liefert den undefinierten Wert 0⁄0, was "ehrlicher" ist. Bei sehr vielen Messungen fällt der Unterschied zwischen beiden ins Gewicht.
Man schreibt: X hat dem Wert x₀ ± σₙ₋₁(X).
Der relative Fehler ist durch σₙ(X)⁄x₀ bzw. σₙ₋₁(X)⁄x₀ definiert.
FehlerfortpflanzungIn einer Summe zweier (voneinander unabhängiger) fehlerbehafteter Größen addieren sich die Standardabweichungen.
In einem Produkt oder einem Quotienten zweier (voneinander unabhängiger) fehlerbehafteter Größen addieren sich die relativen Fehler.
Der exakte Wert ist der theoretische angenommen richtige Wert.
Man könnte auch sagen der "Soll-Wert". Der gemessene Wert wird auch als "Ist-Wert" bezeichnet.
Fehler = Soll - Ist -- > Absolutfehler
Relativer Fehler Messung 1 - Messung 2 -->
Ist-Wert1 - Ist-Wert2 = relativer Fehler
Dann ohne die Betrachtung zum Soll-Wert.
Stimmt das habe ich verstanden.
Sehr schöne Antwort und viel leichter zu verstehen als das Skript.
Ich habe leider trotzdem ein Problem. Ich muss nun mit meinen Messwerten eine Fehlerfortpflanzung durchrechnen. Das würde mir sogar Spaß machen, wenn ich es denn verstehe. Es gibt nur zwei Variablen, die mit einem Fehler behaftet sind. Ich habe von jedem Messwert den Mittelwert und die Standardabweichung. Wie muss ich vorgehen? Gibt es dafür ein Schema F?
Ich bin nicht routiniert in der Materie, würde Dir daher https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfortpflanzung empfehlen
Ob der exakte Wert der theoretisch angenommenen richtige Wert ist oder der eben gemessene, wage ich nicht wirklich zu beurteilen; im Zusammenhang Deiner Frage macht es aber Sinn, ihn so zu verstehen. Auf jeden Fall brauchst Du für den relativen Fehler einen Bezugspunkt, der absolute Fehler wird ja bezogen auf, relativiert an diesem Bezugspunkt, Du musst den absoluten Fehler dividieren durch diesen Bezugspunkt, meinetwegen exaktem Wert. Wenn Du einen absoluten Messfehler von 1 cm hast bei einer Maßstrecke von 1m oder von 100m z.B. macht ja einen riesen Unterschied, im 1. Fall hast Du einen relativen Fehler von 1%, im 2. von 0,01%
Oh nein, der relative Fehler ist niemals die Differenz zwischen 2 Messungen, siehe meine Antwort