Logarithmus vs. Chauchy

Es geht um Mathematik an der Uni, Lernen auf Modulprüfung: BITTE wer es nicht 100% weiß NICHT ANTWORTEN!

Lieber die Frage unbeantwortet lassen. Danke! :)

Ich arbeite gerade eines meiner persönlich größten Rätsel auf: Warum divergiert der Logarithmus?

Meine Gedanken: Cauchy-Folgen konvergieren in R. Cauchy-Folgen sind Folgen, bei denen für eine beliebige Vorgabe ein N gefunden werden kann, sodass dass der Abstand zweier beliebiger Folgeglieder m und n größer als N kleiner als die Vorgabe werden. Ist dies beim Logarithmus nicht der Fall?

Der Abstand "scheint" zumindest gegen 0 zu konvergieren. Meine Überlegung: Die "Funktion" des Abstands ist streng monoton fallend und wird durch die definierte Metrik niemals kleiner als 0 werden. Dadurch ist der Abstand nach unten beschränkt und monoton fallend, daher besitzt er ein Infimum. Dieses sollte doch 0 sein. Falls es nicht 0 ist, was ist es dann? R ist vollständig, also müsste das Infimum (evtl Minimum) dann "ein wenig größer" als 0 sein? Was soll das für eine Zahl sein?

Wenn ich mir die harmonische Reihe anschaue, dann kann ich den Beweis glauben. Den verstehe ich und ich kann mir auch super vorstellen, warum die harmonische Reihe divergiert.

Aber beim Logarithmus?

Nächster Gedanke: Vll gibt es kein Problem bei n->unendlich sondern bei n-> null plus, weil dort die Abstände ja wirklich im Umkehrschluss beliebig groß werden. Allerdings ergibt sich nach meinem Verständnis kein Problem, denn das Cauchy-Kriterium besagt, dass für jedes epsilon ein N gefunden werden kann, sodass bei m und n größer N d(am, an) < epsilon ist. Das bedeutet doch, dass ich N auch gerade so wählen kann dass es zum Beispiel immer größer gleich 1 ist. Dann kann ich den ganzen negativen "gefährlichen" Teil des Logarithmus komplett ignorieren, und kann dort jegliche Widersprüchlichkeit vermeiden.

Wo ist mein Fehler? Bitte helfen :) Danke

Mathematik, Logarithmus

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