Bioquadratische Gleichung?
Das ist ja eine Bioquadratische Gleichung, also setzen wir t=x^2
Dann haben wir ja 2.Lösungen und rücksubstituiern und dann haben wir 4.Lösungen. Jetzt sollen wir aber q herausfinden. Wie macht man das?
Biquadratisch, Autokorrektur!
1 Antwort
"arithmetic progression" bedeutet, dass die Abstände zwischen den Lösungen dieselben sind.
Bei einer biquadratischen Gleichung ist das Negative einer Lösung auch eine Lösung. Darum liegen die vier Lösungen symmetrisch um die Null. Wenn der Abstand zwischen zwei Nullstellen 2d beträgt, lauten die Nullstellen -3d, -d, d, 3d. Vor der Rücksubstitution sind das dann d² und 9d². Die größere Lösung von der quadratischen Gleichung muss also das 9-fache der kleineren sein.
Ja, wie wende ich das bei meiner Gleichung an
Du setzt die Koeffizienten 1, -40 und q in die Lösungsformel für quadratische Gleichungen und setzt das neunfache der kleineren Lösung gleich der größeren Lösung. Die so entstehende Gleichung löst du nach q auf.
Also habe ich: t1/2= 20+- sqrt(400-q)
Also das ist die Gleichung in Substitution. Was mache ich jetzt?
Wenn t₁ die Lösung mit "-" und t₂ die Lösung mit "+" ist, dann 9t₁ = t₂ nach q auflösen.
Also: 180-sqrt(400-q)= 20+sqrt(400-q)
Stimmt das erstmal so? Oder habe ich die *9 auf was falsches bezogen?
Die Wurzel musst du aber auch noch mit neun multiplizieren.
Ich habe q=144 raus. Stimmt das?
Sehr Nice. Wie wäre man da alleine jetzt aber auf den Lösungsweg gekommen?
So wie ich bereits beschrieben habe. Was an meiner Antwort ist dir noch unklar?
- Warum haben die Nullstellen die Form x₁ = -3d, x₂ = -d, x₃ = d, x₄ = 3d?
- Warum haben die Nullstellen nach der Substitution die Form t₁ = d², t₂ = 9d²?
Ja beides. Woher und warum das so ist, das verstehe ich noch nicht so
Wenn ax⁴ + bx² + c = 0, dann ist auch
a(-x)⁴ + b(-x)² + c = 0.
Wenn d die kleinste nichtnegative Nullstelle ist, ist also -d auch eine Nullstelle. Der Abstand beträgt zwischen den beiden Nullstellen d - (-d) = 2d. Gefordert ist, dass der Abstand zwischen den Nullstellen gleich ist. Also sind -d -2d = -3d und d + 2d = 3d auch Nullstellen.
Wenn man t = x² substituiert, sind d² = (-d)² und (3d)² = (-3d)² = 9d² die Nullstellen von at² + bt + c.
Man sucht also so ein q, dass t² - 40t + q die Nullstellen d² und 9d² hat, also dass das die zweite Nullstelle das neunfache der ersten ist.
Sehr gute Erklärung, Dankeschön
An meiner Gleichung?